Une particule immergée dans un fluide est soumise à:
- des forces accélératrices (gravité, force centrifuge et poussée
d'archimède) qui provoquent son déplacement
- des forces de viscosité et d'inertie (de frottement ou de traînée)
qui s'opposent à son déplacement
Tant
que la résultante des forces accélératrices est supérieure à la
résultante des forces de
viscosités et d'inertie, la particule accélère. Les forces de viscosité
et d'inertie augmentent
avec la vitesse alors que les forces accélératrices restent constantes.
La
vitesse de la particule se stabilise lorsque les forces de viscosités
et d'inertie égalent les forces accélératrices. La vitesse atteinte est
appelée vitesse limite
de chute ou vitesse
terminale.
Ces notions s'appliquent aussi bien à:
- des particules solides dans un liquide ou un gaz
- des gouttes liquides dans un autre liquide ou un gaz
- des bulles de gaz dans un liquide.
Nature des
forces
Gravité
La gravité terrestre est la force d'attraction qu'exerce la terre sur
tout objet. C'est la force de pesanteur ou le poids. Elle est
proportionnelle à la masse de l'objet
m. Le coefficient
de proportionnalité
est une accélération, notée
g
et qui est considérée constante partout sur la terre (g = 9,81 m/sec²).
Si l'objet est en
rotation autour d'un axe dans une centrifugeuse par
exemple, il est soumis à une force dite centrifuge et orientée
perpendiculairement à l'axe de rotation. Cette force est comme la
pesanteur proportionnelle à la masse de l'objet. Le coefficient de
proportionnalité est aussi une accélération notée γ et est dans ce
cas fonction
du rayon de la trajectoire de rotation R et de la vitesse
angulaire ω: γ = Rω²
Poussée
d'Archimède
C'est la force que subit un corps plongé (partiellement ou totalement)
dans un fluide. Elle est verticale, dirigée vers le haut et égale au
poids du volume de fluide déplacé.
Si le corps en question est plus dense que le fluide, la force de
pesanteur est supérieure à la poussée d'Archimède et il poursuit sa
chute.
Si le corps est moins dense que le fluide, la poussée d'Archimède est
plus forte que la pesanteur et le corps remonte.
Ceci s'applique quelle que soit la nature du corps ou du fluide (solide,
liquide ou gazeux), et quelle que soit la forme géométrique du corps.
Forces
de viscosité
La particule pour se déplacer doit déplacer une partie du fluide qui
l'entoure. La viscosité du fluide génère des forces qui s'opposent à
ces mouvements. Leur intensité est proportionnelle à la vitesse de la
particule.
Forces
d'inertie
La mise en mouvement du fluide environnant provoque une
surpression qui apparaît devant la particule tandis qu'une
dépression apparaît derrière elle; c'est
la traînée. Ceci
entraîne sur la particule elle-même des forces qui s'opposent à son
déplacement. Ce sont
les
forces d'inertie. Leur intensité dépend de la taille et de
la forme de la particule, et est proportionnelle au carré de sa vitesse.
Coefficient
de traînée
L'ensemble
des effets de viscosité et d'inertie sont rassemblés dans un
coefficient de traînée
symbolisé Cx ou Cd (drag coefficient dans la littérature anglo-saxonne);
plus il est grand, plus la particule se déplace difficilement.
Sa valeur est fonction du nombre de Reynolds, ce qui reflète la
diversité des mécanismes en jeu.
Pour Re<1000 sa valeur décroît quand Re croît, reflétant la part
croissante des forces d'inertie.
Pour
1000<Re<200000 sa valeur se stabilise. C'est ce qu'on
appelle le
régime de Newton. La valeur du coefficient de traînée ne dépend plus
que de la forme de la particule ou de l'objet. C'est cette valeur qui
est souvent rapportée dans la littérature pour caractériser
l'aérodynamisme d'une forme.
Coefficients
de traînée typiques en régime de Newton
Forme de la particule |
Coefficient de
traînée
Cx ou Cd |
Sphère |
0,44 |
Disque |
1,1 |
Cylindre L/D=1 |
1,1 |
Cylindre L/D=4 |
0,8 |
Cube de face |
1,05 |
Cube sommet |
0,8 |
Cône 60deg |
0,5 |
Différents régimes d'écoulement du fluide autour de la
particule peuvent se mettre en place en fonction de sa taille de sa
vitesse et de la viscosité du fluide. Un nombre de Reynolds adapté aux
particules (Rep) permet de les distinguer:
- - Régime laminaire pour des Rep
<1
- Par
exemple, une particule de petite taille se déplace lentement dans un
fluide visqueux;
c'est typiquement le cas d'une particule solide ou liquide dans un
liquide; les forces d'inertie sont faibles et donc les forces de
viscosité sont prépondérantes; le régime est dit de
Stokes
- - Régime turbulent pour des Rep
>1000
- Par
exemple, une particule de grosse taille se déplace à vitesse élevée
dans un fluide peu
visqueux; c'est typiquement le cas d'une goutte liquide dans un gaz;
les forces d'inertie sont si importantes que les forces de viscosité
peuvent être négligées; le
régime est dit de Newton
Vitesse de décantation
La particule se déplace lentement dans un fluide visqueux.
C'est
typiquement le cas d'une particule solide ou liquide dans un liquide.
Les forces de viscosité sont élevées devant les forces d'inertie; cela
se vérifie en calculant que Rep <
1
La
vitesse peut aussi être calculée en utilisant la même relation que pour
les régimes de Newton et transitoire avec pour coefficient de traînée:
Cette relation est moins commode car elle nécessite une
itération entre vitesse et Reynolds.
Les forces de viscosité sont faibles devant les forces
d'inertie; cela
se vérifie en calculant que:
Rep > 1000
La vitesse de déplacement de la particule, assimilée à une
sphère, se calcule alors par:
Régime
de transition
Pour les régimes correspondant à des valeurs de Re
p
comprises entre 1 et 1000, on applique la relation pour le régime de
Newton affecté d'une valeur de coefficient de traînée C
d
variable avec la valeur du Re
p .
Schiller et Naumann ont proposé la relation suivante:
Exemples
|
ρp
kg/m3 |
ρf
kg/m3 |
μ
Pa.sec |
Dp |
Re
Régime |
U
m/sec |
grains de sable dans l'eau |
2500 |
1000 |
0,001 |
50µm |
0,1
Stokes |
0,002 |
|
|
|
|
500µm |
37
Transition |
0,07 |
|
|
|
|
5mm |
2400
Newton |
0,47 |
gouttes d'eau dans l'air |
1000 |
1,2 |
1,7E-5 |
50µm |
0,3
Stokes |
0,08 |
|
|
|
|
500µm |
73
Transition |
2,1 |
|
|
|
|
3mm |
1825
Newton |
8,6 |
bulles d'air dans l'eau |
1,2 |
1000 |
0,001 |
50µm |
0,07
Stokes |
0,001 |
|
|
|
|
500µm |
28
Transition |
0,06 |
|
|
|
|
5mm |
1927
Newton |
0,4 |
gouttes d'huile dans l'eau |
900 |
1000 |
0,001 |
50µm |
0,01
Stokes |
0,0001 |
|
|
|
|
200µm |
0,4
Stokes |
0,002 |