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Facteur de correction de DTLM des échangeurs de chaleur

L'intensité du transfert thermique entre deux fluides dans un échangeur suit la loi de Fourier:
Q = U . S . ΔT
La géométrie des échangeurs réels fait que leur fonctionnement s'écarte de celui d'un échangeur parfait à contre-courant. Leur efficacité s'en trouve réduite, et ceci est représenté dans le calcul par un facteur correctif de la différence de température moyenne. L'équation prédisant l'intensité du transfert thermique devient donc:
Q = U . S . F . ΔT
avec:
Q: quantité de chaleur échangée (Watts)
F: facteur correctif de la différence de température (sans dimension)
U: coefficient de transfert thermique global (W/m²C)
S: surface de transfert thermique (m²)
ΔT: différence de température logarithmique moyenne entre le fluide chauffant et le fluide chauffé (°C)

Ce facteur correctif dépend de la géométrie de l'échangeur mais aussi du profil de température. Celui-ci est représenté par deux facteurs généralement nommés R et P (dans la littérature anglo-saxonne), dont les définitions sont les suivantes:

 Paramètres R et P pour correction du ΔT:

avec:
Te, Ts: températures entrée/sortie côté calandre
te, ts : températures entrée/sortie côté tubes

R correspond au rapport des débits de capacité calorifiques (M.Cp) des deux fluides; il peut varier de 0 à +∞.

P  correspond au rendement de chauffage; si l'un des fluides sort de l'échangeur à la température d'entrée de l'autre fluide (échange maximum possible), P =1.
R et P sont calculés grâce au profil des températures de l'échangeur.

Dans la pratique, on recherchera des géométries telles que le facteur correctif soit supérieur à 0,8.

Différence de température moyenne

Les échangeurs parfaits sont définis comme des surfaces au contact desquelles les fluides à réchauffer ou refroidir cheminent parallèlement. Leur cheminement peut être:
- à co-courant (dans la même direction)
- à contre-courant (dans des directions opposées)

Le profil de température n'étant pas linéaire, on emploie habituellement une moyenne logarithmique de la différence de température, nommée:
- DTLM en français (Différence de Température Logarithmique Moyenne)
- LMTD en anglais (Logarithmique Mean Temperature Difference)
 
 DTLM en co-courant:
Equation du DTLM en co-courant
avec:
Te, Ts: températures entrée/sortie côté chaud
te, ts : températures entrée/sortie côté froid
 DTLM en contre-courant:
Equation du DTLM en contre-courant
avec:
Te, Ts: températures entrée/sortie côté chaud
te, ts : températures entrée/sortie côté froid



Abaques du facteur de correction

On trouve dans la littérature des abaques donnant le facteur de correction en fonction des paramètres R et P pour différentes géométries. Ces graphes sont le plus souvent dédiés aux échangeurs à tubes et calandre. Mais en fait ils ne dépendent pas de la technologie employée mais seulement du nombre et du type de passes de la configuration.

Les abaques présentées ici ont été obtenues en appliquant les équations ci-dessous.

Correction de DTLM pour 1 calandre et 4 passes coté tubes

Correction DTLM pour 2 calandres et 2 passes coté tubes

Facteur de correction de DTLM pour 3 calandres à 2 passesCorrection de DTLM pour 4 calandres et 2 passes coté tubes

Equations de calcul du facteur de correction

Pour les calculs sur ordinateur il est indispensable de disposer d'équations.
Les principales équations publiées sont rassemblées ci-dessous:

Il n'est pas toujours possible d'exprimer explicitement F en fonction de R et P. L'expression générique de F en fonction de R, P et le nombre d'unité de transfert (NUT) est:

si R différent de 1:

si R=1

Expression de F si R=1

pour la configuration retenue, NUT peut être calculé en résolvant l'équation P=f(NUT) correspondante. F peut ensuite être calculé grâce à l'équation générique ci-dessus.

Configuration P=f(NUT)
TEMA E 1-2

NUT pour Tema E 1-2
N échangeurs en série L'efficacité "P" de chaque échangeur est déduite de l'efficacité de  l'ensemble des N échangeurs "Peq" par application de la relation de Bowman suivante:
TEMA E 1-4

NUT doit être calculé en résolvant l'équation ci-dessus
TEMA J 1-1

NUT doit être calculé en résolvant l'équation ci-dessus
TEMA J 1-2

NUT doit être calculé en résolvant l'équation ci-dessus
TEMA J 1-4

NUT doit être calculé en résolvant l'équation ci-dessus
TEMA G 1-2
NUT doit être calculé en résolvant l'équation ci-dessus
Echangeur croisé
(les deux côtés canalisés)Echangeur croisé sans brassage
pour R<1:
Crrection de DTLM pour échangeurs à courants croisés sans brassage
pour R>1:
inverser les cotés chaud et froid
ou remplacer dans les formules
P par P' = P.R
R par R' = 1/R

NUT doit être calculé en résolvant l'équation ci-dessus

Echangeur croisé
(1 côté canalisé)Echangeur à courant croisé avec 1 coté brassé
Si le fluide dont M.Cp max est canalisé:
Correction de DTLM pour échangeur à courants croisés ave fluide dont MCp min est brassé
NUT pour échangeur àcourants croisés avec MCp max canalisé
Si le fluide dont M.Cp min est canalisé:
Correction de DTLM pour échangeur à courants croisés dont le fluide à MCp max est brassé
NUT échangeur à courants croisés avec MCp min canalisé

Sources:

R. K. Shah et D. P. Sekulic,Handbook of Heat Transfer, 3rd Ed, McGraw-Hill
F. P. Incropera et D. P. Dewitt, Fundamentals of Heat and Mass Transfer, 6th Ed, John Wiley & Sons

Exemples d'utilisation

Exemple d'utilisation n°1

On souhaite refroidir de 70 à 50°C 100 litres/heure d'une huile:
- de masse volumique = 0,8 kg/lit
- de chaleur spécifique = 0,5 kcal/kg
par 100 litres/heure d'eau à 25°C, dans un échangeur à tubes et calandre.
L'huile sera côté calandre et l'eau côté tubes.
Le profil de température s'établira comme suit:
- Te= 70°C
- Ts= 50°C
- te= 25°C
- ts= 33°C
- R= 2,5
- P= 0,18
On recherche dans les tableaux des coefficients de correction, la géométrie d'échangeur la mieux adapté (coefficient >0,8 pour la géométrie la plus simple).
Il ressort qu'un échangeur à une seule passe coté calandre et 2 passes coté tube présente dans ce cas un coefficient supérieur à 0,9.
Une configuration à courant croisés pourrait aussi être employée. Cette géométrie est plus courante avec de l'air comme fluide refroidissant (aérothermes).

Exemple d'utilisation n°2

On souhaite réchauffer une huile froide de 20 à 60°C avant son entrée dans un appareil à l'aide de l'huile chaude en sortant à 70°C au même débit.
L'huile chaude passera dans les tubes et l'huile froide dans la calandre.
Le profil de température s'établira comme suit:
- Te= 20°C
- Ts= 60°C
- te= 70°C
- ts= 30°C
- R= 1,0
- P= 0,8
Les tableaux des coefficients de correction montrent qu'une configuration à 3 passes coté calandre (coeff=0,6) nécessitera 50% plus de surface qu'une configuration à 6 passes (coeff=0,9).



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