Nombre de Nusselt
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Nombre de Nusselt

Le transfert de chaleur entre un fluide et une paroi fait appel à trois mécanismes
  • le transfert par conduction: la chaleur est transmise de proche en proche dans le matériau immobile
  • le transfert par convection: le mouvement du fluide apporte régulièrement au contact de la paroi, de la matière provenant de la masse du fluide. L'échange thermique avec la paroi n'est plus limité par la conductibilité du fluide. Le mouvement du fluide peut être provoqué naturellement (convection naturelle) par les différences de densité entre fluide chaud et froid, ou bien provoqué par la turbulence de l'écoulement (convection forcée).
  • le transfert par radiation: le fluide ou la paroi chaude émet un rayonnement infrarouge qui est absorbé par le fluide ou la paroi froide. Ce mécanisme ne devient significatif comparé au transfert par convection forcée que pour des températures élevées (>500°C). Il ne sera donc pris en compte que dans les fours et sera négligé dans les échangeurs classiques. A température plus proches de l'ambiante, il peut être significatif comparé au transfert par convection naturelle, et sera pris en compte dans tout échange thermique avec l'air ambiant.
Le transfert par convection dépend des caractéristiques thermiques du fluide (capacité calorifique, conductibilité thermique) et de son degré de turbulence.
 Nombre de Reynolds:
Re=Rho.Vit.Diam/Visco
Le degré de turbulence est quantifié par le nombre de Reynolds, nombre sans dimension largement usité en mécanique des fluides.

 Nombre de Prandtl:

Les caractéristiques thermiques du fluide sont quantifiées par le nombre sans dimension de Prandtl (Pr).
Quelques valeurs du nombre de Prandtl pour des fluides usuels:
Fluide ρ
kg/m3
µ
Pl
Cp
J/kg/°C
λ
W/m/°C
β
m3/m3/°C
Pr
Eau à 20°C 998 1.10-3 4,18.103 0,60 0,2.10-3 7,0
Eau à 100°C 958 0,28.10-3 4,22.103 0,67 0,75.10-3 1,75
Eau à 250°C 800 0,11.10-3 4,97.103 0,62 2,0.10-3 0,87
Air à 0°C et Patm 1,284 1,725.10-5 1,004.103 0,024 3,67.10-3 0,715
Air à 120°C et Patm 0,898 2,28.10-5 1,013.103 0,033 2,55.10-3 0,70
Air à 250°C et Patm 0,675 2,75.10-5 1,035.103 0,042 1,91.10-3 0,68

 Nombre de Nusselt:

L'intensité du transfert thermique est représenté par le nombre de Nusselt, nombre sans dimension représentant le rapport du flux thermique effectif à ce qu'il serait en conduction pure. Sa valeur est donc de 1 au minimum (conduction seule). Des valeurs proches de 1 sont représentatives d'un écoulement laminaire du fluide, tandis que des valeurs de 100 à 1000 peuvent être obtenues en écoulement turbulent.
Le nombre de Nusselt n'est pas directement utilisable. Seul le coefficient de film (h), calculé à partir du nombre de Nusselt, est d'une utilité pratique.
On trouve dans la littérature de nombreuses corrélations entre nombre de Nusselt, nombre de Reynolds et nombre de Prandtl. Ces corrélations permettent de déterminer le nombre de Nusselt et  d'en déduire le coefficient de film.

Corrélations les plus courantes

Ecoulement dans un tube en régime laminaire (Re<2000)

Restrictions Source
Température de surface uniforme Nu = 3,66 A=(X/D)/(RePr)>0,05 Lévêque
Température de surface uniforme Nu=1,06A-0,4 A<0,05 Lévêque
Flux de chaleur uniforme Nu=4,36
Nu=1,64((X/D)RePr)1/3 (X/D)RePr>10
Si la viscosité du fluide varie fortement avec la température Nu=1,86(µ/µp)0,14((X/D)RePr)1/3
µ: viscosité à la température moyenne du fluide
µp: viscosité à la température de la paroi
Température de paroi uniforme
0,48<Pr<16700
0,0044<(µ/µp)<9,75
Le diamètre du tube "D" est utilisé comme longueur caractéristique "Lc" dans l'expression du nombre de Nusselt.

Ecoulement dans un tube en régime turbulent

Restrictions Source
Nu=0,023Re4/5Prn
n=0,3 en refroidissement
n=0,4 en chauffage
Tube lisse
0,7<Pr<160
Re>10000
X/D>10
Dittus-Boelter
Pour la partie du tube où le régime d'écoulement est établi Nu=0,023Re4/5Pr1/3 Viscosité à la température du film ce qui nécessite un calcul itératif
0,7<Pr<100
104<Re<1,2.105
X/D>60 (au delà de 1m pour un tube de 3/4")
Colburn
Pour l'entrée du tube où le régime d'écoulement n'est pas encore établi Nu=0,023Re4/5Pr1/3[1+(D/X)0,7] 0,7<Pr<100
104<Re<1,2105
X/D<60 (moins de 1m pour un tube de 3/4")
Colburn
Si la viscosité du fluide varie fortement avec la température Nu=0,027Re4/5Pr1/3(µ/µp)0,14
µ: viscosité à la température moyenne du fluide
µp: viscosité à la température de la paroi
0,7<Pr<16700
Re>10000
X/D>10
Sieder & Tate
Le diamètre du tube "D" est utilisé comme longueur caractéristique "Lc" dans l'expression du nombre de Nusselt.

Ecoulement autour d'un tube

  
Contrairement à l'écoulement dans un tube, l'écoulement autour d'un tube, par la formation d'un sillage, n'est pas uniforme sur l'ensemble de sa surface. Les corrélations proposées donnent des valeurs moyennes du nombre de Nusselt.

Restrictions Source
Cylindre isolé transversal au flux Nu=CRemPr1/3
pour 0,4<Re<4 :   C=0,989  m=0,33
pour 4<Re<40 :   C=0,911  m=0,385
pour 40<Re<4000 :   C=0,683  m=0,466
pour 4000<Re<40000 :   C=0,193  m=0,618
pour 40000<Re<400000 :   C=0,027  m=0,805
Pr>0,7 Hilpert
Faisceau de 20 tubes et plus Nu=CRemPr0,36(Pr/Prp)1/4
Zuakaukas
tubes alignés C=0,8  m=0,4 10<Re<100
tubes alignés C=0,68  m=0,47 100<Re<1000
tubes alignés C=0,27  m=0,63 103<Re<2.105
y/x>0,7
tubes alignés C=0,021  m=0,84 2.105<Re<2.106
tubes en quinconce C=0,9  m=0,4 10<Re<100
tubes en quinconce C=0,68  m=0,47 100<Re<1000
tubes en quinconce C=0,35(x/y)1/5  m=0,6 103<Re<2.105
y/x<2
tubes en quinconce C=0,4  m=0,6 103<Re<2.105
y/x>2
tubes en quinconce C=0,022  m=0,84 2.105<Re<2.106
Le diamètre du tube "D" est utilisé comme longueur caractéristique "Lc" dans l'expression du nombre de Nusselt.

En réacteur agité

La relation de Sieder et Tate est souvent utilisée pour prédire le transfert thermique à la paroi d'un réacteur agité.
    Nu = C Re0,667 Prp (µf / µp)q
avec:
Re = ρ n d² /µf
n: vitesse de rotation (tour/sec)
d: diamètre de l'agitateur (m)
µf : viscosité du fluide à la température du réacteur (Pa.sec)
µp : viscosité du fluide à la température de la paroi (Pa.sec)
Lc : diamètre interne du réacteur (m)

Elle fait appel à des coefficients déterminés expérimentalement en fonction du type d'agitateur.

Agitateur Coefficients Re valides
hélice C= 0,33
p= 0,33
q= 0,14
2E+04<Re>2E+06
ancre C= 0,55
p= 0,25
q=0,14
5E+03<Re<4E+04
turbine C= 0,44
p= 0,33
q=0,24
200<Re<1000

Ecoulement vertical en convection naturelle

 Nombre de Grashof:

Ces corrélations s'appliquent pour une paroi à la température Tp, baignée par un fluide dont la température loin de la paroi est Tf. Si Tp>Tf, des filets de fluide se déplacent verticalement à une vitesse variable selon la hauteur.
Le mouvement du fluide dépend de sa densité, sa viscosité, son coefficient de dilatation, la dimension de la paroi  et le gradient de température. Il est quantifié par le nombre sans dimension de Grashof. L'écoulement est laminaire si Gr<109

Restrictions Source
Plan ou cylindre vertical Nu = 0,68+0,67(Gr.Pr)1/4/(1+(0,492/Pr)9/16)4/9
avec Lc= hauteur du plan ou du cylindre
régime laminaire
104<Gr.Pr<109
Churchill & Chu
Nu = (0,825+0,387(Gr.Pr)1/6/(1+(0,492/Pr)9/16)8/27)2
avec Lc= hauteur du plan ou du cylindre
régime turbulent
Gr.Pr>109
Cylindre horizontal Nu = 0,85(Gr.Pr)0,188
avec Lc= diamètre du cylindre
régime laminaire
102<Gr.Pr<104
Morgan
Nu = (0,6+0,387(Gr.Pr)1/6/(1+(0,559/Pr)9/16)8/27)2
avec Lc= diamètre du cylindre
régime laminaire
Gr.Pr<1012
Churchill & Chu
Sphère Nu = 2+0,589(Gr.Pr)1/4/(1+(0,469/Pr)9/16)4/9 Pr>0,7
Gr.Pr<1011
Face supérieure d'un plan horizontal chaud dans un environnement froid
ou bien
Face inférieure d'un plan horizontal froid dans un environnement chaud
Nu = 0,54(Gr.Pr)0,25
avec Lc= Surface / Périmètre du plan
régime laminaire
104<Gr.Pr<109
McAdams
Nu = 0,15(Gr.Pr)0,33
avec Lc= Surface / Périmètre du plan
régime turbulent
Gr.Pr>109
McAdams
Face inférieure d'un plan horizontal chaud dans un environnement froid
ou bien
Face supérieure d'un plan horizontal froid dans un environnement chaud
Nu = 0,25(Gr.Pr)0,25
avec Lc= Surface / Périmètre du plan
régime laminaire
104<Gr.Pr<109
McAdams

Relation simplifiée pour l'air à pression atmosphérique

Une des applications importantes du calcul de transfert thermique en convection naturelle concerne le refroidissement des équipements exposés à l'air. Le coefficient de film du transfert thermique par convection est donné directement dans tableau ci-dessous.
Géométrie Régime laminaire
104<Gr.Pr<109
Régime turbulent
Gr.Pr>109
Plaque ou cylindre vertical h=1,42[(Tp-Tf)/L]1/4 h=1,31(Tp-Tf)1/3
Cylindre horizontal h=1,32[(Tp-Tf)/D]1/4 h=1,24(Tp-Tf)1/3
Face supérieure d'une plaque horizontale chaude ou face inférieure d'une plaque froide h=1,32[(Tp-Tf)/L]1/4 h=1,52(Tp-Tf)1/3
Face inférieure d'une plaque chaude ou face supérieure d'une plaque froide h=0,59[(Tp-Tf)/L]1/4 h=0,59[(Tp-Tf)/L]1/4

Exemples d'application

1- Chauffage d'eau en écoulement dans un tube

Soit un tube d'échangeur de 3/4" (15mm de diamètre interne), parcouru par un débit d'eau entrant à 20°C et circulant à 1,5m/sec, chauffé par condensation de vapeur d'eau à 100°C.
Re = 998*1,5*15.10-3/1.10-3=22455
l'écoulement dans le tube est turbulent
Le film liquide en contact avec la paroi est à une température intermédiaire entre la température de la masse (20°C) et la température de la paroi (100°C)
Pr = 7 à 20°C
Pr = 1,75 à 100°C
la valeur moyenne du nombre de Prandtl (Pr) est de 4,4
par application de la corrélation de Dittus-Boelter
Nu=0,023Re4/5Pr0,4
Nu = 126 et donc h = Nu*λ/D = 126*0,63/15.10-3 = 5300 W/m²/°C

2- Refroidissement naturel d'un bac de stockage par l'air ambiant

Soit un bac de stockage non isolé de 5m de hauteur contenant un liquide à 40°C, en période hivernale avec une température de l'air ambiant à 0°C. On peut considérer que la paroi du bac est à la température du liquide.

Nombre de Prandtl (Pr) pour l'air à 0°C: 0,715
Nombre de Grashof pour l'air à 0°C:
Gr = 3,67.10-3*9,81*(40-0)*(1,284)2*53/(1,725.10-5)2
Gr = 0,997.1012
Gr.Pr = 0,713.1012  >109  l'écoulement de l'air est turbulent
Nu = (0,825+0,387(Gr.Pr)1/6/(1+(0,492/Pr)9/16)8/27)2
Nu = (0,825+0,387(0,713.1012)1/6/(1+(0,492/0,715)9/16)8/27)2 = 890
et donc h = Nu*λ/Lc = 890*0,024/5 = 4,3 W/m²/°C

par application de la formule simplifiée:
h = 1,31(40-0)1/3 = 4,5 W/m²/°C


Variables et Unités

Variable Dimension Unité SI
h: coefficient de film W/m²/°C
Cp: capacité calorifique du fluide J/kg/°C
λ: conductivité thermique du fluide W/m/°C
Lc: longueur caractéristique dans l'expression du nombre de Nusselt L m
D: diamètre de la tuyauterie ou bien diamètre hydraulique équivalent =4A/C L m
U: vitesse du fluide LT-1 m/sec
ρ: masse volumique du fluide ML-3 kg/m3
µ: viscosité dynamique du fluide ML-1T-1 Poiseuille (Pl)
Pa.sec
β: coefficient de dilatation cubique du fluide
m3/m3/°C
A: aire de passage L2
C: périmètre mouillé L m
g: accélération due à la pesanteur LT-2 m/sec2
M: masse      L: longueur      T: temps

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