Cette page détaille les
équations utilisées dans la feuille de calcul "Tuyauterie gaz" du
fichier ProcesssCalc
L'écoulement de gaz dans une
tuyauterie présente les
particularités suivantes:
- Les frottements sur la paroi de la tuyauterie génèrent une perte
de charge (diminution de la pression) progressive le long du parcours.
- La diminution de pression le long de la
tuyauterie provoque l'augmentation de la vitesse du gaz qui à son tour
augmente
la perte de charge. La variation de pression n'est donc pas linéaire en
fonction de la longueur.
- La vitesse du gaz ne peut dépasser une valeur
dite critique, qui dépend de la nature du gaz. Cette vitesse correspond
également à la vitesse du son dans ce même gaz.
- Une fois cette vitesse
critique atteinte,
la pression ne peut plus décroître (une diminution de la pression aurait pour effet
d'augmenter la
vitesse qui est déjà maximum). Le débit est donc limité, et ne peut être augmenté que par
l'augmentation de pression amont.
- L'expansion
du gaz étant dûe aux frottements contre la paroi, c'est une évolution
irréversible (on ne peut pas inverser le phénomène de frottement pour
retrouver l'état initial du gaz). Il y aura donc augmentation de
l'entropie du gaz.
- L'écoulement peut être de type adiabatique (sans échange de
chaleur avec l'extérieur) ou isotherme (à température constante) ou
encore polytropique (avec échange de chaleur conduisant à une
augmentation ou une diminution de température), ce
qui aura des conséquences différentes sur l'évolution de la masse
volumique du gaz.
- Si
aucun échange de chaleur ne se produit avec l'extérieur, l'expansion du
gaz sera isenthalpique (adiabatique mais non isentropique).
L'écoulement adiabatique du gaz dans
une
tuyauterie (Débit et profil de Pression)
est solution de l'équation de Fanno:
Elle
permet de calculer le profil de vitesses du gaz le long d'une
tuyauterie en fonction des propriétés du gaz et des caractéristiques de
la tuyauterie; les vitesses sont exprimées en nombre de Mach (M1
en entrée et M2 en sortie).
Le
nombre de Mach est le rapport de la vitesse sur la vitesse du son dans
le gaz. Il peut s'exprimer directement en fonction du débit et des
pression et température du gaz.
Le
nombre de
Mach ne peut être supérieur à 1. Lorsqu'il atteint la valeur de 1 le
long de la tuyauterie, le régime d'écoulement est dit "critique"
("choked flow" dans la littérature anglo-saxone). La valeur de Mach=1
ne peut être atteinte qu'à l'extrémité de sortie de la tuyauterie.
Les
température et pression au point d'entrée sont renseignés. En
écoulement adiabatique la température de sortie dépend du
profil
de pression.
L'écoulement isotherme du gaz dans
une
tuyauterie (Débit et profil de Pression)
est solution de l'équation
Logique de calcul
Les données d'entrée sont:
- Caractéristiques de la tuyauterie (Diamètre, Longueur,
Rugosité)
- Caractéristiques du gaz (Masse molaire, Cp/Cv, viscosité)
- Conditions opératoires (Débit, Pression et température de
la source, Pression en aval)
Sont calculés:
- Reynolds aux conditions d'entrée
- Le facteur de frottement est calculé par:
- la relation de Poiseuille en régime laminaire
- la relation de Churchill en régime turbulent
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- Nombres
de Mach pour l'entrée et la sortie (en considérant la pression aval
comme pression de sortie de la tuyauterie). Si la valeur de Mach en
sortie est >1, elle est forcée =1
- La relation de Fanno est évaluée
Itérations:
La variable sélectionnée est ajustée par le solver pour satisfaire la
relation de Fanno. Si au cours des itérations la valeur de Mach en sortie
est >1, elle est forcée =1
Variables
et Unités
Variable |
Dimension |
Unité SI |
M: nombre de Mach |
- |
- |
P: pression du fluide |
ML-1T-2 |
N/m² |
V: volume du fluide |
L3 |
m3 |
T: température du fluide |
|
K |
L: longueur de la tuyauterie |
L |
m |
D: diamètre de la tuyauterie |
L |
m |
F: débit du fluide |
MT-1 |
kg/sec |
U: vitesse du fluide |
LT-1 |
m/sec |
f:
facteur de frottement de Darcy |
- |
- |
k = Cp/Cv: rapport des capacités calorifiques à
pression constante (Cp) et à volume constant (Cv) |
- |
- |
Mw: masse molaire du gaz |
M |
kg |
z: |
- |
- |
e: rugosité de la tuyauterie |
L |
m |
A: aire de passage |
L2 |
m² |
R: constante des gaz parfaits (8,3145 Pa.m3/mole/°K) |
|
|
M: masse
L: longueur
T: temps |