Travail de compression
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Travail de compression


Dans les processus industriels, la compression des gaz est utilisée pour transférer un gaz depuis une zone à basse pression vers une zone à haute pression. Cette compression est obtenue par réduction du volume du gaz par un moyen mécanique. La compression du gaz s'accompagne d'une augmentation de sa température aussi souvent nommée chaleur de compression. Cette augmentation de température en provoquant la dilatation du gaz contribue elle aussi à l'augmentation de pression. Ceci est représenté par la relation de Laplace:  PV k=constant

Le coefficient k représente l'effet de la température sur l'évolution de la pression. Plus la valeur de k est grande, plus l'augmentation de température du gaz est grande, et plus grande est son effet sur l'évolution de la pression et mais aussi plus grande sera l'énergie nécessaire pour réduire le volume du gaz.

Diagrammes PVOn a l'habitude de distinguer les modes de compression suivants:

Isotherme:

k = 1 : La température est constante.
Le compresseur est continuellement refroidi afin que la température du gaz sortant soit égale à celle du gaz entrant. La pression du gaz évolue de telle manière que le produit P.V est constant. Ce mode correspond à une transformation infiniment lente pour permettre l'élimination continue de la chaleur.

Isentropique:

k = γ : Le compresseur n'échange pas de chaleur avec l'extérieur (compression adiabatique) et la compression se fait sans perte ni frottement. Le gaz sortant sera plus chaud que le gaz entrant. L'augmentation de température contribue également à l'augmentation de pression. La pression du gaz suit la loi de Laplace:
PV
γ=constant

Polytropique adiabatique:

k > γ : Le compresseur n'échange pas de chaleur avec l'extérieur (compression adiabatique) mais la compression se fait avec pertes, recyclages et frottements qui conduisent à transformer une partie de l'énergie fournie en chaleur transférée au gaz. Ceci est représenté par un rendement ηp. L'augmentation de température du gaz est donc plus importante que dans le cas isentropique. Elle conduit à une augmentation plus rapide de la pression. La pression du gaz suit la loi de Laplace généralisée:
PV
k=constant  avec k tel que:

 

Polytropique refroidie:

k < γ : Le compresseur échange de la chaleur avec l'extérieur. Selon l'intensité de cet échange la valeur de k pourra être comprise entre 1 et γ. L'évolution de la pression sera alors moins rapide que l'évolution isentropique.

L'énergie théorique à fournir au compresseur est indépendante de la technologie du compresseur.
Elle ne dépend que de la nature du gaz, des conditions opératoires et de la manière dont est gérée la chaleur de compression.

Attention: les notations utilisées ici sont celles généralement employées dans les documents français. Dans la littérature anglo-saxonne γ est souvent remplacé par k et k par n, ce qui est source de confusions.

Répartition du travail de compression


 Répartition du travail de compression
Répartition du travail de compression

With  Wis  Wp : énergie théorique consommée par le compresseur compte tenu de l'évolution réelle (Wp) ou théorique (Wis ou  With) de la température du gaz
Wf : énergie dégradée due aux fuites internes et frottements qui est transférée au gaz sous forme de chaleur ou bien évacuée par le refroidissement
Wc : énergie transmise au gaz par la machine
Wa : énergie fournie par le moteur à l'arbre du compresseur

L'énergie fournie au compresseur est utilisée pour:
 - vaincre les frottements des pièces mécaniques en mouvement (paliers, joints, engrenages, ...)
 - vaincre les frottements visqueux du gaz ou compenser les fuites internes,
 - réduire le volume du gaz et augmenter sa pression
Cette dernière est la seule efficace pour le procédé, Mais la machine a besoin qu'on lui fournisse la totalité de l'énergie nécessaire pour accomplir sa tâche.




Représentation des gaz

Par souci de simplification des calculs, le comportement des gaz peut être représenté comme un gaz parfait, un gaz idéal ou un gaz réel.
Un gaz parfait comme un gaz idéal suit la relation:  PV = nRT
Pour un gaz parfait, les capacités calorifiques Cp et Cv sont des constantes, tandis que pour un gaz idéal elles sont fonction de la température.
Un gaz réel se distingue d'un gaz parfait ou idéal par la variation du facteur de compressibilité "z".
Il suit alors la relation:  PV = znRT
La représentation d'un gaz réel nécessite la résolution d'équations d'état et n'est possible que dans des programmes de calcul complexes.
La représentation des gaz comme un gaz idéal est généralement satisfaisante tant que la pression est basse (Pref<50 bars). Pour des pressions supérieures, la simulation du comportement réel du gaz ou l'utilisation des grandeurs thermodynamiques devient nécessaire.


Travail de compression

Une machine réelle fonctionne toujours selon un processus polytropique, adiabatique ou bien partiellement refroidi, selon la technologie du compresseur. C'est donc la seule manière réaliste de calculer le travail de compression. Une machine réelle n'étant pas parfaite, il est d'usage de considérer un rendement énergétique de compression global appelé rendement polytropique (ηp). C'est une caractéristique de la machine, généralement garanti par le constructeur. Il est indépendant des conditions opératoires.
Les autres modes de compression courants, isotherme ou isentropique, sont purement théoriques. Il est d'usage de calculer des rendements associés qui ne sont que le rapport d'un travail théorique au travail réel qui est le travail polytropique. Ce ne sont pas des caractéristiques du compresseur et leur valeur varie avec les conditions opératoires.

Travail de compression polytropique

 Travail de compression polytropique d'un gaz idéal:
Travail de compression polytropique
avec:
Wc : Energie apportée au gaz en J/mole
Wp : Travail polytropique en J/mole
Tasp :Température d'aspiration (K)
ηp :    Rendement polytropique
Pref : Pression absolue au refoulement 
Pasp : Pression absolue à l'aspiration
k : coefficient polytropique
Z : facteur de compressibilité du gaz
R = 8,3145 J/K/mole
L'expression la plus générale du travail de compression d'une machine réelle est celle du travail polytropique. La valeur de l'exposant polytropique k peut y prendre une valeur quelconque >1 si le compresseur est partiellement refroidi. C'est typiquement le cas des compresseurs à piston dont les cylindres peuvent être munis d'ailettes ou d'une double enveloppe dans laquelle circule un fluide de refroidissement.
Si le compresseur est refroidi, la valeur de k est déduite du profil de pression et de température:
Expression de k pour une compression polytropique refroidi
La dégradation d'énergie dans les recyclages, les frottements visqueux du gaz est représentée par le facteur de rendement polytropique ηp. Cette énergie dégradée est convertie en chaleur supplémentaire apportée au gaz.
Le rendement polytropique est une caractéristique intrinsèque du compresseur qui ne dépend pas des conditions opératoires.

L'augmentation réelle de température du gaz comprimé sans échange thermique avec l'extérieur est donnée par:

Expression de la température finale en compression polytropique

Travail de compression polytropique adiabatique

 Compression polytropique adiabatique d'un gaz idéal:
Travail de compressionpolytropique adiabatique
avec:
Wc : Energie apportée au gaz en J/mole
Tasp :Température d'aspiration (K)
Pref : Pression absolue au refoulement 
Pasp : Pression absolue à l'aspiration

ηp : Rendement polytropique
γ = Cp / Cv
Z : facteur de compressibilité du gaz
R = 8,3145 J/K/mole

Dans le cas particulier d'une compression sans échange de chaleur avec l'extérieur (adiabatique)

Ceci est typiquement le cas des compresseurs centrifuges.

L'augmentation de température est donnée par:

Température de sortie en compression polytropique adiabatique


Travail de compression isentropique

 Travail de compression isentropique d'un gaz idéal:
Equation de travail de compression isentropique
avec:
Wis : travail isentropique en J/mole
Tasp : Température d'aspiration (K)
Pref : Pression absolue au refoulement 
Pasp : Pression absolue à l'aspiration
γ = Cp / Cv
Z : facteur de compressibilité
R = 8,3145 J/K/mole

Si la compression en plus d'être adiabatique est sans perte par recycle interne ni frottement contribuant à l'augmentation de température du gaz (ηp =1),  la compression est alors dite isentropique.

Le travail isentropique est l'énergie théorique consommée par une machine parfaite qui n'échange pas de chaleur avec l'extérieur.

Le rendement isentropique, qui est le rapport du travail isentropique sur le travail réel, caractérise l'efficacité d'une opération de compression. Ce n'est pas une caractéristique du compresseur. Il varie avec le taux de compression.


Travail de compression isotherme

 Travail de compression isotherme:
Equation de travail de compression isotherme
avec:
With : Travail isothermique en J/mole
Tasp : Température d'aspiration (K)
Pref : Pression absolue au refoulement 
Pasp : Pression absolue à l'aspiration 
Z : facteur de compressibilité du gaz
R = 8,3145 J/K/mole

Le travail de compression isotherme est la quantité d'énergie théorique consommée par une machine parfaite, lorsque le refroidissement est tel que la température du gaz reste constante.

Le rendement isothermique, qui est le rapport du travail isothermique sur le travail réel, caractérise l'efficacité d'une opération de compression. Ce n'est pas une caractéristique du compresseur.

C'est le mode de compression qui demande le moins d'énergie. On s'en approche dans un compresseur à anneau liquide, ou bien en multipliant les étages de compression avec refroidissement intermédiaire.


Performance d'un compresseur

Travail et température d'un compresseur polytropique adiabatiqueEn application des équations ci-dessus, le graphe ci-contre donne l'évolution du travail de compression et de la température de refoulement pour un compresseur fonctionnant selon le mode polytropique adiabatique.

En pratique on limitera le taux de compression pour que la température au refoulement reste <250°C.


Utilisation des grandeurs thermodynamiques

L'évolution du gaz dans un compresseur se traduit par une évolution des grandeurs thermodynamiques le caractérisant (enthalpie, entropie,pression, température). Ces grandeurs sont disponibles dans des tables ou des diagrammes (diagrammes de Mollier) pour les corps purs, ou sont calculés par des équations d'état. L'utilisation de ces grandeurs thermodynamiques est le seul moyen d'obtenir un résultat précis et fiable pour un gaz réel qui s'écarterait sensiblement du comportement d'un gaz idéal.

Les diagrammes

Diagramme H-S
 Diagramme H-S du Méthane

Diagramme P-H

Diagramme de Mollier PH
Les diagrammes en coordonnées Enthalpie (H) en fonction de l'entropie (S) sont les plus souvent cités pour représenter le fonctionnement d'un compresseur.
Les propriétés du gaz sont déterminées par le point d'intersection des courbes de pression (isobare) et de température (isotherme). L'enthalpie et l'entropie sont lues sur les axes vertical et horizontal.
Cependant les diagrammes HS sont peu publiés et sont donc difficiles à obtenir à moins de les faire tracer soi-même au moyen d'un logiciel spécialisé. Par contre les diagrammes dits PH ayant en coordonnées la pression (P) en fonction de l'enthalpie (H), sont assez largement diffusés et peuvent également être employés.Les propriétés du gaz sont déterminées par le point d'intersection des courbes d'entropie (isoentropique) et de température (isotherme). L'enthalpie et la pression sont lues sur les axes horizontal et vertical.
Dans l'exemple présenté ici:
Du méthane pris à 50°C et 1 bar est comprimé à 2 bars.

Travail isentropique

Le fonctionnement idéal du compresseur (compression isentropique) est représenté par une évolution sur l'axe vertical. Connaissant la pression de refoulement, on en déduit la température et le travail absorbé. Le travail du compresseur est la différence d'enthalpie entre les points correspondants à l'aspiration et au refoulement. La détermination de la température pourra nécessiter une interpolation si le point tombe entre deux courbes isothermes.
Dans l'exemple présenté ici:
Enthalpie du gaz à l'aspiration = 55 kJ/kg
Enthalpie du gaz au refoulement si la compression est isentropique = 180 kJ/kg
Travail de compression isentropique = 180 - 55 = 125 kJ/kg
Température théorique de refoulement = 103°C

Travail réel

Le compresseur réel diffère du compresseur idéal par un travail absorbé et une température de refoulement supérieurs. Le point représentatif du refoulement se trouve à l'intersection de l'isobare et de l'isotherme. Là encore une interpolation pourra être nécessaire. Le travail réellement absorbé est obtenu en faisant la différence entre les enthalpies de l'aspiration et du refoulement.
Dans l'exemple présenté ici:
Température théorique de refoulement = 120°C
Enthalpie du gaz à l'aspiration = 55 kJ/kg
Enthalpie du gaz au refoulement = 220 kJ/kg
Travail de compression isentropique = 220 - 55 = 165 kJ/kg

Rendement

Le rendement est obtenu par le rapport travail idéal (isentropique) / travail réel.
Il pourrait tout aussi bien être calculé en se basant sur l'échauffement du gaz:
(Tref isent - Tasp) / (Tref réel - Tasp)
Ce rendement est le rendement isentropique de la machine.
Dans l'exemple présenté ici:
Rendement isentropique = 125 / 165 = 76%
ou bien
(103 - 50) / (120 - 50) = 76%

Bilan thermique 

 Relation de Mayer et ses dérivations:
Relation de Mayer
avec:
Cp : Capacité calorifique du gaz (J/K/mole)
γ = Cp / Cv
R = 8,3145 J/K/mole
Le travail de compression d'un gaz produit une augmentation équivalente de l'enthalpie du gaz. On peut donc écrire le bilan suivant:
Bilan thermique autour du compresseur
avec Q: chaleur échangée par le compresseur (compresseur refroidi)
Cp peut être obtenu de la littérature ou bien calculé avec la relation de Mayer.

Résolution de problèmes courants

Calcul de la puissance d'un compresseur centrifuge

Un compresseur centrifuge doit amener 1000kg/h d'air (M=29g  Cp/Cv=1,4 Tasp=20°C) de la pression atmosphérique (1000 hPa) à une pression de 2bars eff. Le constructeur du compresseur annonce une efficacité polytropique de 75% et un rendement mécanique de 98%.
Un compresseur centrifuge  ne permet pas d'échange de chaleur. Son mode de fonctionnement est donc polytropique adiabatique.
Travail de compression:
Wc = 8,3145 x (20+273,15) x 1,4 / (1,4 - 1) x {(3/1)^[(1,4-1)/1,4/0,75]-1} =  4434 J/mole
Puissance de compression:
Pc = 4434 x 1000/29 / 3600 = 42,5 kW
Puissance à fournir à l'arbre du compresseur:
Pa = Pc / 0,98 = 43,3kW
Température du gaz au refoulement:
Tref = (20+273,15) x (3/1)^[(1,4-1)/1,4/0,75] - 273,15 = 172,4°C
on peut vérifier le bilan thermique:
Cp = 8,3145 x 1,4/(1,4-1) = 29,1 J/K/mole
Wc = 29,1 x (172,4 - 20) = 4434 J/mole

Calcul du rendement d'un compresseur alternatif refroidi

Un compresseur alternatif refroidi amène 1000kg/h d'air (M=29g  Cp/Cv=1,4 Tasp=20°C) de la pression atmosphérique (1000 hPa) à une pression de 2bars eff. Le gaz est refoulé à une température de 130°C. Un bilan thermique sur le circuit de refroidissement montre un transfert de 10kW.
Valeur de l'exposant polytropique:
k = ln(3/1) / [ln(3/1) - ln((130+273,15)/(20+273,15))] = 1,41
Bilan thermique du compresseur:
Cp = 8,3145 x 1,4/(1,4-1) = 29,1 J/K/mole
Wc = 29,1 x (130-20) + 10 x 3600 / 1000 x 29 = 4245 J/mole
Rendement polytropique du compresseur:
= 8,3145 x (20+273,15) x 1,41 / (1,41 - 1) x {(3/1)^[(1,41-1)/1,41]-1} /  4245 = 74,3%
Efficacité par rapport à l'isentropique:
= 8,3145 x (20+273,15) x 1,4 / (1,4 - 1) x {(3/1)^[(1,4-1)/1,4]-1} /  4245 = 74,1%

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