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Vitesse de décantation


Une particule immergée dans un fluide est soumise à:
- des forces accélératrices (gravité, force centrifuge et poussée d'archimède) qui provoquent son déplacement
- des forces de viscosité et d'inertie (de frottement ou de traînée) qui s'opposent à son déplacement

Tant que la résultante des forces accélératrices est supérieure à la résultante des forces de viscosités et d'inertie, la particule accélère. Les forces de viscosité et d'inertie augmentent avec la vitesse alors que les forces accélératrices restent constantes. La vitesse de la particule se stabilise lorsque les forces de viscosités et d'inertie égalent les forces accélératrices. La vitesse atteinte est appelée vitesse limite de chute ou vitesse terminale.

Ces notions s'appliquent aussi bien à:
- des particules solides dans un liquide ou un gaz
- des gouttes liquides dans un autre liquide ou un gaz
- des bulles de gaz dans un liquide.

Nature des forces

Gravité

La gravité terrestre est la force d'attraction qu'exerce la terre sur tout objet. C'est la force de pesanteur ou le poids. Elle est proportionnelle à la masse de l'objet m. Le coefficient de proportionnalité est une accélération, notée g et qui est considérée constante partout sur la terre (g = 9,81 m/sec²).
Représentation des forces impliquées dans la décantationSi l'objet est en rotation autour d'un axe dans une centrifugeuse par exemple, il est soumis à une force dite centrifuge et orientée perpendiculairement à l'axe de rotation. Cette force est comme la pesanteur proportionnelle à la masse de l'objet. Le coefficient de proportionnalité est aussi une accélération notée γ et est dans ce cas fonction du rayon de la trajectoire de rotation R et de la vitesse angulaire ω: γ = Rω²

Poussée d'Archimède

C'est la force que subit un corps plongé (partiellement ou totalement) dans un fluide. Elle est verticale, dirigée vers le haut et égale au poids du volume de fluide déplacé.
Si le corps en question est plus dense que le fluide, la force de pesanteur est supérieure à la poussée d'Archimède et il poursuit sa chute.
Si le corps est moins dense que le fluide, la poussée d'Archimède est plus forte que la pesanteur et le corps remonte.
Ceci s'applique quelle que soit la nature du corps ou du fluide (solide, liquide ou gazeux), et quelle que soit la forme géométrique du corps.

Forces de viscosité

La particule pour se déplacer doit déplacer une partie du fluide qui l'entoure. La viscosité du fluide génère des forces qui s'opposent à ces mouvements. Leur intensité est proportionnelle à la vitesse de la particule.

Forces d'inertie

 La mise en mouvement du fluide environnant provoque une surpression qui apparaît devant la particule tandis qu'une dépression apparaît derrière elle; c'est la traînée. Ceci entraîne sur la particule elle-même des forces qui s'opposent à son déplacement. Ce sont les forces d'inertie. Leur intensité dépend de la taille et de la forme de la particule, et est proportionnelle au carré de sa vitesse.

Coefficient de traînée

Graphique du coefficient de traînée pour une sphèreL'ensemble des effets de viscosité et d'inertie sont rassemblés dans un coefficient de traînée symbolisé Cx ou Cd (drag coefficient dans la littérature anglo-saxonne); plus il est grand, plus la particule se déplace difficilement.
Sa valeur est fonction du nombre de Reynolds, ce qui reflète la diversité des mécanismes en jeu.
Pour Re<1000 sa valeur décroît quand Re croît, reflétant la part croissante des forces d'inertie.
Pour 1000<Re<200000 sa valeur se stabilise. C'est ce qu'on appelle le régime de Newton. La valeur du coefficient de traînée ne dépend plus que de la forme de la particule ou de l'objet. C'est cette valeur qui est souvent rapportée dans la littérature pour caractériser l'aérodynamisme d'une forme.

Coefficients de traînée typiques en régime de Newton

Forme de la particule Coefficient de traînée
Cx ou Cd
Sphère 0,44
Disque 1,1
Cylindre L/D=1 1,1
Cylindre L/D=4 0,8
Cube de face 1,05
Cube sommet 0,8
Cône 60deg 0,5

Calcul de la vitesse limite de chute ou de décantation

 Nombre de Reynolds pour particules:
   
 Equation de débit dans une vanne de réglage en écoulement laminaire
avec:
 ρf: masse volumique du fluide (kg/m3)
U: vitesse de la particule (m/sec)
 Dp: diamètre de la particule (m)
 
μ: viscosité dynamique du liquide (Pa.sec)

Différents régimes d'écoulement du fluide autour de la particule peuvent se mettre en place en fonction de sa taille de sa vitesse et de la viscosité du fluide. Un nombre de Reynolds adapté aux particules (Rep) permet de les distinguer:

- Régime laminaire pour des Rep <1
Par exemple, une particule de petite taille se déplace lentement dans un fluide visqueux; c'est typiquement le cas d'une particule solide ou liquide dans un liquide; les forces d'inertie sont faibles et donc les forces de viscosité sont prépondérantes; le régime est dit de Stokes
- Régime turbulent pour des Rep >1000
Par exemple, une particule de grosse taille se déplace à vitesse élevée dans un fluide peu visqueux; c'est typiquement le cas d'une goutte liquide dans un gaz; les forces d'inertie sont si importantes que les forces de viscosité peuvent être négligées; le régime est dit de Newton



Régime de Stokes

 Vitesse d'une sphère en régime de Stokes:
   
 Vitesse de chute d'une particule en régime de Stokes
avec:
U: vitesse de la particule (m/sec)
 ρp: masse volumique de la particule (kg/m3)
 ρf: masse volumique du fluide (kg/m3)
 Dp: diamètre de la particule (m)
 
μ: viscosité dynamique du liquide (Pa.sec)
 g: accélération due à la force de pesanteur (m/sec²)

La particule se déplace lentement dans un fluide visqueux. C'est typiquement le cas d'une particule solide ou liquide dans un liquide.
Les forces de viscosité sont élevées devant les forces d'inertie; cela se vérifie en calculant que Rep < 1

La vitesse peut aussi être calculée en utilisant la même relation que pour les régimes de Newton et transitoire avec pour coefficient de traînée:Coefficient de traînée en régime de Shokes

Cette relation est moins commode car elle nécessite une itération entre vitesse et Reynolds.

Régime de Newton

 Vitesse des particules en régime de Newton:
   
 Equation de vitesse de chute d'une particule en régime de Newton
avec:
 U: vitesse de la particule (m/sec)
 ρp: masse volumique de la particule (kg/m3)
 ρf: masse volumique du fluide (kg/m3)
 Dp: diamètre de la particule (m)
 Cd: coef de traînée de la particule (0,44 pour une sphère)
 
g: accélération due à la force de pesanteur (m/sec²)


Les forces de viscosité sont faibles devant les forces d'inertie; cela se vérifie en calculant que:

Rep > 1000

La vitesse de déplacement de la particule, assimilée à une sphère, se calcule alors par:

Vitesse de chute d'une sphère en régime de Newton


Régime de transition

Pour les régimes correspondant à des valeurs de Rep comprises entre 1 et 1000, on applique la relation pour le régime de Newton affecté d'une valeur de coefficient de traînée Cd variable avec la valeur du Rep . Schiller et Naumann ont proposé la relation suivante:
Relation de Schiller et Naumann pour le Cd en phase transitoire

Exemples

ρp
kg/m3
ρf
kg/m3
μ
Pa.sec
Dp Re
Régime
U
m/sec
grains de sable dans l'eau 2500 1000 0,001 50µm 0,1
Stokes
0,002
500µm 37
Transition
0,07
5mm 2400
Newton
0,47
gouttes d'eau dans l'air 1000 1,2 1,7E-5 50µm 0,3
Stokes
0,08
500µm 73
Transition
2,1
3mm 1825
Newton
8,6
bulles d'air dans l'eau 1,2 1000 0,001 50µm 0,07
Stokes
0,001
500µm 28
Transition
0,06
5mm 1927
Newton
0,4
gouttes d'huile dans l'eau 900 1000 0,001 50µm 0,01
Stokes
0,0001
200µm 0,4
Stokes
0,002


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