Le transfert de chaleur entre un fluide et une paroi fait appel à
trois mécanismes
- le transfert par conduction: la chaleur est transmise de
proche en proche dans le matériau immobile
- le transfert par convection: le mouvement du fluide apporte
régulièrement au contact de la paroi, de la matière provenant de la
masse du fluide. L'échange thermique avec la paroi n'est plus limité
par la conductibilité du fluide. Le mouvement du fluide peut être
provoqué naturellement (convection naturelle) par les différences de
densité entre fluide chaud et froid, ou bien provoqué par la turbulence
de l'écoulement (convection forcée).
- le transfert par radiation: le fluide ou la paroi chaude
émet un rayonnement infrarouge qui est absorbé par le fluide ou la
paroi froide. Ce mécanisme ne devient significatif comparé au
transfert par convection forcée que pour des températures élevées
(>500°C). Il ne sera donc pris en compte que dans les fours et
sera négligé dans les échangeurs classiques. A température plus proches
de l'ambiante, il peut être significatif comparé au transfert par
convection naturelle, et sera pris en compte dans tout échange
thermique avec l'air ambiant.
Le transfert par convection dépend des caractéristiques thermiques du
fluide (capacité calorifique, conductibilité thermique) et de son degré
de turbulence.
Le degré de turbulence est quantifié par le nombre de Reynolds, nombre
sans dimension largement usité en mécanique des fluides.
Les caractéristiques thermiques du fluide sont quantifiées par le
nombre sans dimension de Prandtl (Pr).
Quelques valeurs du nombre de Prandtl pour des fluides
usuels:
| Fluide |
ρ
kg/m3 |
µ
Pl |
Cp
J/kg/°C |
λ
W/m/°C |
β
m3/m3/°C |
Pr |
| Eau à 20°C |
998 |
1.10-3 |
4,18.103 |
0,60 |
0,2.10-3 |
7,0 |
| Eau à 100°C |
958 |
0,28.10-3 |
4,22.103 |
0,67 |
0,75.10-3 |
1,75 |
| Eau à 250°C |
800 |
0,11.10-3 |
4,97.103 |
0,62 |
2,0.10-3 |
0,87 |
| Air à 0°C et Patm |
1,284 |
1,725.10-5 |
1,004.103 |
0,024 |
3,67.10-3 |
0,715 |
| Air à 120°C et Patm |
0,898 |
2,28.10-5 |
1,013.103 |
0,033 |
2,55.10-3 |
0,70 |
| Air à 250°C et Patm |
0,675 |
2,75.10-5 |
1,035.103 |
0,042 |
1,91.10-3 |
0,68 |
L'intensité du transfert thermique est représenté par le nombre de
Nusselt, nombre sans dimension représentant le rapport du flux
thermique effectif à ce qu'il serait en conduction pure. Sa valeur est
donc de 1 au minimum (conduction seule). Des valeurs proches de 1 sont
représentatives d'un écoulement laminaire du fluide, tandis que des
valeurs de 100 à 1000 peuvent être obtenues en écoulement turbulent.
Le
nombre de Nusselt n'est pas directement utilisable. Seul le coefficient
de film (
h),
calculé à partir du nombre de Nusselt, est d'une utilité
pratique.
On trouve dans la littérature de nombreuses corrélations
entre nombre de Nusselt, nombre de Reynolds et nombre de Prandtl. Ces
corrélations permettent de déterminer le nombre de Nusselt et
d'en déduire le coefficient de film.
Ecoulement
dans un tube en régime laminaire (Re<2000)
L'écoulement
en régime laminaire se caractérise par des lignes de courant
parallèles, le liquide se déplaçant à des vitesses différentes: nulle
près de la paroi, maximum au centre du tube.
Ce régime ne s'établi pas instantanément dès l'entrée du tube, mais se
développe progressivement sur une distance fonction du nombre de
Reynolds "Re". Ceci se répercute sur le profil de température radial du
fluide dans le tube qui n'atteint un état stable qu'au bout d'une
distance "X" fonction du Re et des propriétées du fluide représentées
par le nombre de Prandtl "Pr". Cette distance est estimée par:
X/D = 0,05×Re×Pr
Pour un tube d'échangeur véhiculant de l'eau avec un Re = 2000, la
longueur de tube affectée par ce régime transitoire serait de 700D soit
10 mètres pour un tube de 3/4".
Sur cette portion de tube, tant que le régime d'écoulement n'est pas
établi, le nombre de Nusselt varie. Il convient donc de distinguer une
valeur locale du nombre de Nusselt "Nu
loc",
conduisant par intégration sur la
longueur du tube à un nombre de Nusselt moyen "Nu
moy",
utile pour les calculs
d'échange thermique.
|
|
Restrictions |
Source |
Température de
surface uniforme
(tube chauffé par de la vapeur par exemple) |
Nombre de Graetz: Gz = RePr/(X/D)
Nuloc =
3,66 + 0,0018Gz1/3
⁄ (0,04 + Gz-2/3)2
Numoy =
3,66 + 0,0668Gz1/3
⁄ (0,04 + Gz-2/3)
|
Régime
transitoire d'entrée pour:
(X/D)<0,05(RePr)
|
Shah et Bhatti |
Numoy = 1,615((D/X)Re∙Pr)1/3 | Lévêque |
|
Nuloc =
Numoy =
3,66
|
Régime
établi pour:
(X/D)>0,05(RePr)
|
|
Flux de chaleur
uniforme
(tube chauffé électriquement par exemple) |
Nombre de Graetz: Gz = Re∙Pr/(X/D)
pour Gz > 20000
Nuloc =
1,302Gz1/3 - 1
pour 667 < Gz < 20000
Nuloc =
1,302Gz1/3 - 0,5
|
Régime
transitoire d'entrée pour:
(X/D)<0,05(RePr)
|
|
|
Nuloc =
Numoy= 4,36
|
Régime
établi pour:
(X/D)>0,05(RePr)
|
|
| Si la viscosité du fluide varie fortement avec la
température |
Nu=1,86(µ/µp)0,14((X/D)Re∙Pr)1/3
µ: viscosité à la température moyenne du fluide
µp:
viscosité à la température de la paroi |
Température de paroi uniforme
0,48<Pr<16700
0,0044<(µ/µp)<9,75 |
|
Le diamètre du tube "D" est utilisé comme longueur caractéristique "L
c"
dans l'expression du nombre de Nusselt.
Ecoulement
dans un tube en régime turbulent
|
|
Restrictions |
Source |
|
Nu=0,023Re4/5Prn
n=0,3 en refroidissement
n=0,4 en chauffage |
Tube lisse
0,7<Pr<160
Re>10000
X/D>10 |
Dittus-Boelter |
| Pour la partie du tube où le régime d'écoulement est
établi |
Nu=0,023Re4/5Pr1/3
|
Viscosité à la température du film ce qui nécessite un
calcul itératif
0,7<Pr<100
104<Re<1,2.105
X/D>60 (au delà de 1m pour un tube de 3/4") |
Colburn |
| Pour l'entrée du tube où le régime d'écoulement n'est
pas encore établi |
Nu=0,023Re4/5Pr1/3[1+(D/X)0,7]
|
0,7<Pr<100
104<Re<1,2105
X/D<60 (moins de 1m pour un tube de 3/4") |
Colburn |
| Si la viscosité du fluide varie fortement avec la
température |
Nu=0,027Re4/5Pr1/3(µ/µp)0,14
µ: viscosité à la température moyenne
du fluide
µp:
viscosité à la température de la paroi |
0,7<Pr<16700
Re>10000
X/D>10 |
Sieder & Tate |
|
|
|
|
Le diamètre du tube "D" est utilisé comme longueur caractéristique "L
c"
dans l'expression du nombre de Nusselt.
Ecoulement
autour d'un tube
Contrairement à l'écoulement dans un tube, l'écoulement autour
d'un tube, par la
formation d'un sillage, n'est pas uniforme sur l'ensemble de sa
surface. Les corrélations proposées donnent des valeurs
moyennes du nombre de Nusselt.
|
|
Restrictions |
Source |
| Cylindre isolé transversal au flux |
Nu=C∙RemPr1/3
pour 0,4<Re<4 :
C=0,989 m=0,33
pour 4<Re<40 : C=0,911
m=0,385
pour 40<Re<4000 : C=0,683
m=0,466
pour 4000<Re<40000 : C=0,193
m=0,618
pour 40000<Re<400000 :
C=0,027 m=0,805 |
Pr>0,7 |
Hilpert |
| Faisceau de 20 tubes et plus |
Nu=C∙RemPr0,36(Pr/Prp)1/4
|
|
Zuakaukas |
| tubes alignés |
C=0,8 m=0,4 |
10<Re<100 |
|
| tubes alignés |
C=0,68 m=0,47 |
100<Re<1000 |
|
| tubes alignés |
C=0,27 m=0,63 |
103<Re<2.105
y/x>0,7 |
|
| tubes alignés |
C=0,021 m=0,84 |
2.105<Re<2.106 |
|
| tubes en quinconce |
C=0,9 m=0,4 |
10<Re<100 |
|
| tubes en quinconce |
C=0,68 m=0,47 |
100<Re<1000 |
|
| tubes en quinconce |
C=0,35(x/y)1/5 m=0,6 |
103<Re<2.105
y/x<2 |
|
| tubes en quinconce |
C=0,4 m=0,6 |
103<Re<2.105
y/x>2 |
|
| tubes en quinconce |
C=0,022 m=0,84 |
2.105<Re<2.106 |
|
Le diamètre du tube "D" est utilisé comme longueur caractéristique "L
c"
dans l'expression du nombre de Nusselt.
En
réacteur agité
La relation de Sieder et Tate est souvent utilisée pour prédire le
transfert thermique à la paroi d'un réacteur agité.
Nu = C∙Re0,667 Prp
(µf /µp)q
avec:
Re = ρ∙n∙d² /µ
f
n: vitesse de rotation (tour/sec)
d: diamètre de l'agitateur (m)
µ
f : viscosité du fluide à la température du
réacteur (Pa.sec)
µ
p : viscosité du fluide à la température de la
paroi (Pa.sec)
Lc : diamètre interne du réacteur (m)
Elle fait appel à des coefficients déterminés
expérimentalement en
fonction du type d'agitateur.
| Agitateur |
Coefficients |
Re valides |
| hélice |
C= 0,33
p= 0,33
q= 0,14 |
2E+04<Re>2E+06 |
| ancre |
C= 0,55
p= 0,25
q=0,14 |
5E+03<Re<4E+04 |
| turbine |
C= 0,44
p= 0,33
q=0,24 |
200<Re<1000 |
Ecoulement
vertical en convection naturelle
Ces corrélations s'appliquent pour une paroi à la température
Tp, baignée par un fluide dont la température loin de la paroi est Tf.
Si Tp>Tf, des filets de fluide se déplacent verticalement à une
vitesse variable selon la hauteur.
Le mouvement du fluide dépend de sa densité, sa viscosité, son
coefficient de dilatation, la dimension de la paroi et le
gradient de température. Il est quantifié par le nombre sans
dimension de Grashof. L'écoulement est laminaire si Gr<10
9
|
|
Restrictions |
Source |
| Plan ou cylindre
vertical |
Nu = 0,68+0,67(Gr∙Pr)1/4/(1+(0,492/Pr)9/16)4/9
avec Lc= hauteur du plan ou du cylindre |
régime laminaire
104<Gr∙Pr<109
|
Churchill & Chu
|
Nu = (0,825+0,387(Gr∙Pr)1/6/(1+(0,492/Pr)9/16)8/27)2
avec Lc= hauteur du plan ou du cylindre |
régime turbulent
Gr∙Pr>109 |
|
| Cylindre
horizontal |
Nu = 0,85(Gr∙Pr)0,188
avec Lc= diamètre du cylindre |
régime laminaire
102<Gr∙Pr<104 |
Morgan |
Nu = (0,6+0,387(Gr∙Pr)1/6/(1+(0,559/Pr)9/16)8/27)2
avec Lc= diamètre du cylindre |
régime laminaire
Gr∙Pr<1012 |
Churchill & Chu |
| Sphère |
Nu = 2+0,589(Gr∙Pr)1/4/(1+(0,469/Pr)9/16)4/9 |
Pr>0,7
Gr∙Pr<1011 |
|
Face supérieure
d'un plan horizontal chaud dans un environnement froid
ou bien
Face inférieure d'un plan horizontal froid dans un environnement chaud |
Nu = 0,54(Gr∙Pr)0,25
avec Lc= Surface / Périmètre
du plan |
régime laminaire
104<Gr∙Pr<109 |
McAdams
|
Nu = 0,15(Gr∙Pr)0,33
avec Lc= Surface / Périmètre du plan |
régime turbulent
Gr∙Pr>109 |
McAdams |
Face inférieure d'un plan horizontal chaud dans un
environnement froid
ou bien
Face supérieure d'un plan horizontal froid dans un environnement chaud |
Nu = 0,25(Gr∙Pr)0,25
avec Lc= Surface / Périmètre
du plan |
régime laminaire
104<Gr∙Pr<109 |
McAdams |
Relation
simplifiée pour l'air à pression atmosphérique
Une
des applications importantes du calcul de transfert thermique en
convection naturelle concerne le refroidissement des équipements
exposés à l'air. Le coefficient de film du transfert thermique par
convection est donné directement dans tableau ci-dessous.
| Géométrie |
Régime laminaire
104<Gr∙Pr<109 |
Régime turbulent
Gr∙Pr>109 |
| Plaque ou cylindre vertical |
h=1,42[(Tp-Tf)/L]1/4 |
h=1,31(Tp-Tf)1/3 |
| Cylindre horizontal |
h=1,32[(Tp-Tf)/D]1/4 |
h=1,24(Tp-Tf)1/3 |
| Face supérieure d'une plaque horizontale chaude ou face
inférieure d'une plaque froide |
h=1,32[(Tp-Tf)/L]1/4 |
h=1,52(Tp-Tf)1/3 |
| Face inférieure d'une plaque chaude ou face supérieure
d'une plaque froide |
h=0,59[(Tp-Tf)/L]1/4 |
h=0,59[(Tp-Tf)/L]1/4 |
Exemples
d'application
1- Chauffage d'eau en écoulement dans un tube
Soit
un tube d'échangeur de 3/4" (15mm de diamètre interne), parcouru par un
débit d'eau entrant à 20°C et circulant à 1,5m/sec,
chauffé par condensation de vapeur d'eau à 100°C.
Re = 998×1,5×15∙10
-3/1∙10
-3 = 22455
l'écoulement dans le tube est turbulent
Le
film liquide en contact avec la paroi est à une température
intermédiaire entre la température de la masse (20°C) et la température
de la paroi (100°C)
Pr = 7 à 20°C
Pr = 1,75 à 100°C
la valeur moyenne du nombre de Prandtl (Pr) est de 4,4
par application de la corrélation de Dittus-Boelter
Nu=0,023Re
4/5Pr
0,4
Nu = 126 et donc h = Nu×λ/D = 126×0,63/15∙10
-3 =
5300 W/m²/°C
2- Refroidissement naturel d'un bac de stockage par l'air
ambiant
Soit
un bac de stockage non isolé de 5m de hauteur contenant un
liquide
à 40°C, en période hivernale avec une température de l'air ambiant à
0°C. On peut considérer que la paroi du bac est à la température du
liquide.
Nombre de Prandtl (Pr) pour l'air à 0°C: 0,715
Nombre de Grashof pour l'air à 0°C:
Gr = 3,67∙10
-3×9,81×(40-0)×(1,284)
2×5
3/(1,725∙10
-5)
2
Gr = 0,997∙10
12
Gr.Pr = 0,713∙10
12 >10
9
l'écoulement de l'air est turbulent
Nu = (0,825+0,387(Gr∙Pr)
1/6/(1+(0,492/Pr)
9/16)
8/27)
2
Nu = (0,825+0,387(0,713∙10
12)
1/6/(1+(0,492/0,715)
9/16)
8/27)
2
= 890
et donc h = Nu×λ/L
c = 890×0,024/5 = 4,3 W/m²/°C
par application de la formule simplifiée:
h = 1,31(40-0)
1/3 = 4,5 W/m²/°C
Sources
- Lévêque
- A. Lévêque, Les lois de la transmission de chaleur par convection, Ann. Mines, vol. 13, pp. 201-299, 305-362, 381-415, 1928.
- Shah et Bhatti
- R.
K. Shah, and M. S. Bhatti, "Laminar Convection Heat Transfer in Ducts,"
Handbook of Single Phase Convective Heat Transfer, eds. S. Kakaq, R. K.
Shah, and W. Aung, Wiley-Interscience, John Wiley & Sons, New York,
1987.
Variables et
Unités
| Variable |
Dimension |
Unité SI |
| h: coefficient de film |
|
W/m²/°C |
| Cp: capacité calorifique du
fluide |
|
J/kg/°C |
| λ: conductivité thermique du fluide |
|
W/m/°C |
| Lc: longueur caractéristique
dans l'expression du nombre de Nusselt |
L |
m |
| D: diamètre de la tuyauterie ou bien diamètre
hydraulique équivalent =4A/C |
L |
m |
| U: vitesse du fluide |
LT-1 |
m/sec |
| ρ: masse volumique du fluide |
ML-3 |
kg/m3 |
| µ: viscosité dynamique du fluide |
ML-1T-1 |
Poiseuille (Pl)
Pa.sec |
| β: coefficient de dilatation cubique du fluide |
|
m3/m3/°C |
| A: aire de passage |
L2 |
m² |
| C: périmètre mouillé |
L |
m |
| g: accélération due à la pesanteur |
LT-2 |
m/sec2 |
|
|
|
| M: masse
L: longueur
T: temps |
