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Les turbo-machines

Sommaire de la page:

Définition des turbomachines
Le triangle de vitesses
Turbines à action et à réaction
Expression des performances
Courbes de compressseur en coordonnées réduites
Nombres sans dimension
Caractéristiques des roues
Courbe de Cordier

Voir aussi ...

Définition des turbomachines

Les turbomachines permettent la conversion entre énergie mécanique, énergie cinétique et pression appliquée à un fluide.
Les turbomachines peuvent être utilisées comme:

pompe ou compresseur:

énergie motrice → accélération du fluide (énergie cinétique) → élévation (énergie potentielle) ou pression du fluide au repos

turbine

pression du fluide → accélération du fluide (énergie cinétique) → énergie motrice

Les turbomachines sont des machines rotatives, dans lesquelles une roue tourne autour d'un axe. On peut aussi les dénommer "rotodynamiques".

Impulseur radial

Les premières turbomachines étaient des pompes ou compresseurs "centrifuges", dans lesquelles le fluide entrait parallèlement à l'axe de rotation et était dévié pour sortir perpendiculairement. Ce sont des machines "radiales".

Impulseur axial

Depuis, d'autres turbomachines dans lesquelles le fluide entre et sort parallèlement à l'axe de rotation ont été développées; ce sont des machines "axiales". Cependant, leurs principes de fonctionnement étant similaires, elles sont souvent improprement dénommées centrifuges.

Le triangle de vitesses

Représentation schématique du triangle de vitesses

Une turbomachine est une machine mécanique, dont les performances théoriques peuvent être déduites de sa géométrie et de sa vitesse de rotation.

Trois vecteurs de vitesse sont importants dans la définition d'une turbomachine:

la vitesse absolue du fluide (V₁ en entrée et V₂ en sortie) qui est sa vitesse par rapport aux parties fixes de la machine
la vitesse périphérique du rotor (u₁ en entrée et u₂ en sortie)
la vitesse relative du fluide (W₁ et W₂) qui est sa vitesse par rapport aux pales du rotor.

La vitesse absolue du fluide se décompose en une composante tangentielle (V_t1 pour l'entrée et V_t2 pour la sortie) et une autre radiale.
La vitesse radiale est aussi le ratio du débit traversant la machine sur la section de passage périphérique de la roue.

Les équations d'Euler permettent de calculer:

le couple: T = ρQ(r₂V_t2 – r₁V_t1)
la puissance absorbée: P_w = ω × T
la hauteur de relevage du fluide: H = P_w ⁄ ρgQ

à partir de ces informations.

Turbines à action et à réaction

Les turbines peuvent être:

à action
à réaction
mixtes

Schéma de principe du fonctionnement à action et à réaction Dans une turbine à action, le fluide entrant est détendu dans un orifice et voit sa vitesse augmenter. Le fluide ainsi accéléré frappe l'élément récepteur du rotor qui reçoit ainsi son énergie cinétique (exemple: turbine hydraulique Pelton).

Dans une turbine à réaction, le rotor est muni d'ailettes profilées. Le fluide entrant est seulement orienté par un stator,vers les ailettes du rotor, sans être détendu. Le fluide est progressivement détendu au contact des ailettes, les repoussant dans la direction opposée à son écoulement (exemple: turbines hydrauliques Francis ou Kaplan).

En pratique les turbines industrielles sont partiellement à action et à réaction. Le taux de réaction est le rapport de la variation d'enthalpie du fluide à l'intérieur du rotor, sur la variation totale d'enthalpie.

Expression des performances

Les caractéristiques principales d'une turbomachine sont le débit, la différence de pression du fluide et l'énergie mise en jeu.
Ces paramètres dépendent de la nature du gaz, de sa pression et sa température en entrée, et de la vitesse de rotation de la machine:

le débit est proportionnel à la vitesse de rotation
la différence de pression est proportionnelle au carré de la vitesse de rotation
la différence de pression étant fonction de la masse volumique du fluide, qui elle-même dépend de nombreux facteurs (nature du fluide, pression et température d'un gaz, ...), on préfèrera souvent la remplacer par une hauteur manométrique (H_m = hauteur virtuelle de fluide) (∆P[Pa] = ρ[kg/m3]×g[m/s²]×H_m[m]).
les turbomachines étant destinées à convertir une énergie, il est également pertinent de remplacer la notion de hauteur manométrique par une énergie massique (W[joule/kg] = g[m/s²]×H_m[m])

De plus, les performances d'une turbomachine varient avec le débit la traversant.
Les relations entre ces différents paramètres sont déterminées expérimentalement par le constructeur, sur un banc d'essais, et représentées sous forme d'un graphe présentant différentes courbes. Celles-ci sont déterminées pour un nombre limité de cas de fonctionnement.

Les performances effectives en opération dépendent de très nombreux facteurs, qu'il est difficile de tous représenter sur un seul graphe.

Des règles d'extrapolation peuvent être appliquées pour convertir les performances mesurées sur le banc d'essai. Mais souvent, il est plus simple d'exprimer les performances sous forme de coordonnées réduites, ou de nombres sans dimension. Les performances mesurées peuvent alors être exprimées dans ces coordonnées et directement comparées aux valeur annoncées par le constructeur.

Courbes de compressseur en coordonnées réduites

Pour un gaz de nature invariable, les coordonnées réduites permettent de s'affranchir des conditions d'aspiration.

Taux de compression: P_ref⁄ P_asp

C'est le rapport de la pression au refoulement sur la pression à l'aspiration. Il permet de s'affranchir des variations de masse volumique du gaz à l'aspiration.
avec:
P_asp: pression absolue du gaz à l'aspiration
P_ref: pression absolue du gaz au refoulement

Débit réduit: Q_m×T_asp^0,5 ⁄ P_asp

avec:
Q_m: débit massique de gaz
T_asp: température absolue du gaz à l'aspiration [K]

Vitesse de rotation réduite: N ⁄ T_asp^0,5

avec:
N: vitesse de rotation

Nombres sans dimension

7 variables physiques indépendantes sont susceptibles d'affecter les performances d'une turbomachine :

une dimension caractéristique (par exemple le diamètre de la roue D),
la vitesse de rotation N
le débit massique de fluide Q_m
les états thermodynamiques à l'aspiration et au refoulement

pressions à l'aspiration P_asp
pression au refoulement P_ref
enthalpie à l'aspiration h_asp
enthalpie au refoulement h_ref

Auguste Rateau, inventeur et industriel français, est le premier à décrire l'existence de coefficients et courbes caractéristiques de machine semblables, dans son Traité des turbo-machines publié de 1897 à 1900 dans la Revue de mécanique.
Ces coefficients sont ainsi souvent dénommés "coefficients de Rateau".
Deux turbomachines sont dites semblables lorsqu'elles sont à la fois géométriquement semblables (même rapport entre les dimensions linéaires des organes) et cinématiquement semblables (même rapport entre les vitesses aux points homologues: en particulier les triangles de vitesse sont semblables).

Il définit cinq coefficients restant constants ensemble:

coefficient de débit
coefficient de puissance
de vitesse
de rendement
d'ouverture

Ils relient entre elles sept variables:

le débit de fluide
la masse volumique du fluide
la hauteur de chute (turbines) ou de relevage (pompes ou compresseurs)
le rayon ou le diamètre de roue
la vitesse périphérique de la roue
la puissance échangée
l'accélération due à la gravité

Les variables sont choisies et arrangées pour conduire à des coefficients sans dimension, afin que leur valeur numérique soit indépendante des unités choisies.
Ce sont elles (et quelques autres qui s'en déduisent par des combinaisons identiques) qu'il désigne sous le nom de coefficients caractéristiques du type de turbo-machine envisagé et il appelle courbes caractéristiques les courbes qui représentent leur variation en fonction de l'une d'entre elles.

Attention: Il règne une grande confusion dans la formulation de ces coefficients publiés dans la littérature. Certain même sont affublés d'une ... unité! Donc, avant de les utiliser il est prudent de vérifier leur définition.

Invariants des turbomachines

Coefficient de débit: Φ

$Φ=\frac{{Q}_{v}}{ω×{R}^{3}}=8\frac{{Q}_{v}}{ω×{D}^{3}}=\frac{240}{π}\frac{{Q}_{v}}{N×{D}^{3}}$

$ω×R=u=\text{vitesse prériphérique de la roue}$

Coefficient manométrique: Ψ

$Ψ=\frac{g×{H}_{m}}{{ω}^{2}×{R}^{2}}=4\frac{g×{H}_{m}}{{ω}^{2}×{D}^{2}}=\frac{3600}{{π}^{2}}\frac{g×{H}_{m}}{{N}^{2}×{D}^{2}}$

$g×{H}_{m}=W=\text{énergie massique échangée avec le fluide}$

Vitesse spécifique: Ω

$Ω=\frac{{Φ}^{½}}{{Ψ}^{¾}}=\frac{ω×\sqrt{{Q}_{v}}}{{\left(g×{H}_{m}\right)}^{¾}}=\frac{0,1×N×\sqrt{{Q}_{v}}}{{\left(g×{H}_{m}\right)}^{¾}}$

Diamètre (ou Rayon) spécifique: Δ

$Δ=\frac{{Ψ}^{¼}}{{Φ}^{½}}=R\frac{{\left(g×{H}_{m}\right)}^{¼}}{\sqrt{{Q}_{v}}}=\frac{D}{2}\frac{{\left(g×{H}_{m}\right)}^{¼}}{\sqrt{{Q}_{v}}}$

avec:

${Q}_{v}$	débit volumique de fluide [m³/s]
$R, D$	rayon, diamètre externe de la roue [m]
${H}_{m}$	hauteur manométrique de relevage du fluide [m]
$ω$	vitesse de rotation de la roue [rad/s]
$N$	vitesse de rotation de la roue [tour/min]
$g$	accélération due à la gravité = 9,81 m/s²
$π$	= 3,1416
u	vitesse périphérique de la roue [m/s]
W	énergie massique [J/kg]

Dans les publications récentes, les coefficients sans dimension courants sont:

coefficient de débit: Φ
coefficient manométrique: Ψ
vitesse spécifique: Ω
diamètre spécifique: Δ

Caractéristiques des roues

Une multitude de formes différentes de roues sont proposées par les constructeurs. La forme de la roue joue un rôle essentiel dans les performances de la turbomachine:

les roues radiales permettront les différences de pression les plus élevées, mais pour de faibles débits
les roues axiales permettront les plus grands débits, mais pour des différences de pression faibles

Nombre de vitesse spécifique et forme de roue correspondante
Représentation graphique des nombres de vitesse spécifique et de la forme de roue correspondante

Représentation graphique des nombres de vitesse spécifique et de la forme de roue correspondante

La performance de la forme de roue est caractérisée par une vitesse spécifique. Deux définitions co-existent:

définition US utilisée par les fabricants nord américains:

Ns = vitesse en round per minute (rpm) qu'il faut appliquer à une roue similaire mais de diamètre approprié, pour qu'elle produise une différence de pression de 1 foot (ft) avec un débit de 1 Gallon per minute (US gpm)

définition internationale:

Ω = vitesse en radian par seconde qu'il faut appliquer à une roue similaire mais de diamètre approprié, pour qu'elle convertisse une énergie de 1 joule/kg avec un débit de 1 m³/seconde

Courbe de Cordier

La compilation des caractéristiques d'un grand nombre de compresseurs par Otto Cordier, au début des années 1950, a permit d'établir une relation universelle entre le coefficient de vitesse et le coefficient de rayon.
Courbe de Cordier

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