Vitesse de décantation

Une particule immergée dans un fluide est soumise à:
- des forces accélératrices (gravité, force centrifuge et poussée d'archimède) qui provoquent son déplacement
- des forces de viscosité et d'inertie (de frottement ou de traînée) qui s'opposent à son déplacement

Tant que la résultante des forces accélératrices est supérieure à la résultante des forces de viscosités et d'inertie, la particule accélère. Les forces de viscosité et d'inertie augmentent avec la vitesse alors que les forces accélératrices restent constantes. La vitesse de la particule se stabilise lorsque les forces de viscosités et d'inertie égalent les forces accélératrices. La vitesse atteinte est appelée vitesse limite de chute ou vitesse terminale.

Ces notions s'appliquent aussi bien à:
- des particules solides dans un liquide ou un gaz
- des gouttes liquides dans un autre liquide ou un gaz
- des bulles de gaz dans un liquide.

Nature des forces

Gravité

La gravité terrestre est la force d'attraction qu'exerce la terre sur tout objet. C'est la force de pesanteur ou le poids. Elle est proportionnelle à la masse de l'objet m. Le coefficient de proportionnalité est une accélération, notée g et qui est considérée constante partout sur la terre (g = 9,81 m/sec²).
Si l'objet est en rotation autour d'un axe dans une centrifugeuse par exemple, il est soumis à une force dite centrifuge et orientée perpendiculairement à l'axe de rotation. Cette force est comme la pesanteur proportionnelle à la masse de l'objet. Le coefficient de proportionnalité est aussi une accélération notée γ et est dans ce cas fonction du rayon de la trajectoire de rotation R et de la vitesse angulaire ω: γ = Rω²

Poussée d'Archimède

C'est la force que subit un corps plongé (partiellement ou totalement) dans un fluide. Elle est verticale, dirigée vers le haut et égale au poids du volume de fluide déplacé.
Si le corps en question est plus dense que le fluide, la force de pesanteur est supérieure à la poussée d'Archimède et il poursuit sa chute.
Si le corps est moins dense que le fluide, la poussée d'Archimède est plus forte que la pesanteur et le corps remonte.
Ceci s'applique quelle que soit la nature du corps ou du fluide (solide, liquide ou gazeux), et quelle que soit la forme géométrique du corps.

Forces de viscosité

La particule pour se déplacer doit déplacer une partie du fluide qui l'entoure. La viscosité du fluide génère des forces qui s'opposent à ces mouvements. Leur intensité est proportionnelle à la vitesse de la particule.

Forces d'inertie

 La mise en mouvement du fluide environnant provoque une surpression qui apparaît devant la particule tandis qu'une dépression apparaît derrière elle; c'est la traînée. Ceci entraîne sur la particule elle-même des forces qui s'opposent à son déplacement. Ce sont les forces d'inertie. Leur intensité dépend de la taille et de la forme de la particule, et est proportionnelle au carré de sa vitesse.

Coefficient de traînée

L'ensemble des effets de viscosité et d'inertie sont rassemblés dans un coefficient de traînée symbolisé Cx ou Cd (drag coefficient dans la littérature anglo-saxonne); plus il est grand, plus la particule se déplace difficilement.
Sa valeur est fonction du nombre de Reynolds, ce qui reflète la diversité des mécanismes en jeu.
Pour Re<1000 sa valeur décroît quand Re croît, reflétant la part croissante des forces d'inertie.
Pour 1000<Re<200000 sa valeur se stabilise. C'est ce qu'on appelle le régime de Newton. La valeur du coefficient de traînée ne dépend plus que de la forme de la particule ou de l'objet. C'est cette valeur qui est souvent rapportée dans la littérature pour caractériser l'aérodynamisme d'une forme.

Coefficients de traînée typiques en régime de Newton

Forme de la particule	Coefficient de traînée Cx ou Cd
Sphère	0,44
Disque	1,1
Cylindre L/D=1	1,1
Cylindre L/D=4	0,8
Cube de face	1,05
Cube sommet	0,8
Cône 60deg	0,5

Calcul de la vitesse limite de chute ou de décantation

Différents régimes d'écoulement du fluide autour de la particule peuvent se mettre en place en fonction de sa taille de sa vitesse et de la viscosité du fluide. Un nombre de Reynolds adapté aux particules (Re_p) permet de les distinguer:

- Régime laminaire pour des Re_p <1

Par exemple, une particule de petite taille se déplace lentement dans un fluide visqueux; c'est typiquement le cas d'une particule solide ou liquide dans un liquide; les forces d'inertie sont faibles et donc les forces de viscosité sont prépondérantes; le régime est dit de Stokes

- Régime turbulent pour des Re_p >1000

Par exemple, une particule de grosse taille se déplace à vitesse élevée dans un fluide peu visqueux; c'est typiquement le cas d'une goutte liquide dans un gaz; les forces d'inertie sont si importantes que les forces de viscosité peuvent être négligées; le régime est dit de Newton

Régime de Stokes

Vitesse de décantation

La particule se déplace lentement dans un fluide visqueux. C'est typiquement le cas d'une particule solide ou liquide dans un liquide.
Les forces de viscosité sont élevées devant les forces d'inertie; cela se vérifie en calculant que Re_p < 1

La vitesse peut aussi être calculée en utilisant la même relation que pour les régimes de Newton et transitoire avec pour coefficient de traînée:

Cette relation est moins commode car elle nécessite une itération entre vitesse et Reynolds.

Régime de Newton

Les forces de viscosité sont faibles devant les forces d'inertie; cela se vérifie en calculant que:

Re_p > 1000

La vitesse de déplacement de la particule, assimilée à une sphère, se calcule alors par:

Régime de transition

Pour les régimes correspondant à des valeurs de Re_p comprises entre 1 et 1000, on applique la relation pour le régime de Newton affecté d'une valeur de coefficient de traînée C_d variable avec la valeur du Re_p . Schiller et Naumann ont proposé la relation suivante:

Exemples

	ρp kg/m3	ρf kg/m3	μ Pa.sec	Dp	Re Régime	U m/sec
grains de sable dans l'eau	2500	1000	0,001	50µm	0,1 Stokes	0,002
				500µm	37 Transition	0,07
				5mm	2400 Newton	0,47
gouttes d'eau dans l'air	1000	1,2	1,7E-5	50µm	0,3 Stokes	0,08
				500µm	73 Transition	2,1
				3mm	1825 Newton	8,6
bulles d'air dans l'eau	1,2	1000	0,001	50µm	0,07 Stokes	0,001
				500µm	28 Transition	0,06
				5mm	1927 Newton	0,4
gouttes d'huile dans l'eau	900	1000	0,001	50µm	0,01 Stokes	0,0001
				200µm	0,4 Stokes	0,002