Loi Normale

Lors d'une série de mesures affectées par des erreurs ou des perturbations aléatoires, la probabilité d'obtenir un résultat proche de la moyenne est plus forte que celle d'obtenir un résultat éloigné de la moyenne. On défini ainsi une fonction de densité de probabilité, avec un maximum coïncidant avec la valeur de la moyenne des résultats de mesure, et décroissante de part et d'autre de la moyenne des résultats, au fur et à mesure qu'on s'en éloigne.
Cette fonction de densité de probabilité décrit une courbe couramment nommée "en cloche" en raison de sa forme, ou courbe de Gauss, du nom de Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855), mathématicien et physicien allemand.Cette fonction dépend de deux paramètres:

• la moyenne des valeurs mesurées (ou espérance de la mesure: µ)
• l'écart-type caractérisant la dispersion des résultats (σ)

Fonction de répartition

La densité de probabilité en elle-même est peu utile, mais la surface sous cette courbe, représente la probabilité d'obtenir un résultat situé entre deux valeurs. C'est la fonction de répartition.
La surface totale entre -∞ et +∞ est égale à 1 (100%). D'autres valeurs sont caractéristiques de la loi normale:

domaine	probabilité
entre µ et +∞	0,5
entre µ-1σ et µ+1σ	0,68
entre µ-2σ et µ+2σ	0,95
entre µ-3σ et µ+3σ	0,997

Il n'existe pas d'expression analytique pour la fonction de répartition et pas de formule simple pour la calculer exactement. Différentes approximations sont proposées conduisant à un résultat entaché d'une erreur minime. Des tables sont publiées, ou des fonctions sont disponibles dans les tableurs; elle renvoient la fonction de répartition entre -∞ et la valeur exprimée en nombre d'écart-type:

• fonction LibreOffice: LOI.NORMALE.STANDARD(nbσ;vrai)
• fonction MSExcel: LOI.NORMALE.STANDARD(nbσ)

Méthodes de vérification

La plupart des tests statistiques courants ne sont applicable que si les valeurs est étudiées sont distribuées selon une loi dite "normale" ou gaussiène. Il est donc important de savoir le vérifier. Différentes méthodes sont applicables dont:

• le tracé d'un histogramme
• la comparaison de la courbe de répartition aux valeurs attendues
• un diagramme quantile-quantile
• la droite de Henry

Tracé d'un histogramme

L'étendue des valeurs est découpée en classes. Le nombre de classes recommandé est proche de la racine carrée du nombre de valeurs à répartir.
La série de valeurs est répartie dans les différentes classes et pour chacune on relève le nombre de valeurs enregistrées.
On trace un histogramme, avec le nombre de valeurs enregistrées dans chaque classe. Les sommets des barres de l'histogramme doit décrire une forme en cloche, si la distribution suit la loi normale.

Courbe de répartition

Sur la courbe de répartition, relever la fraction des valeurs situées dans les intervalles:

•  µ - 1σ à µ + 1σ
• µ - 2σ à µ + 2σ

et les comparer aux valeurs attendues:

• 68% entre  µ - 1σ à µ + 1σ
• 95% entre  µ - 2σ à µ + 2σ

Diagramme Quantile-Quantile

Un graphe quantile-quantile est destiné à vérifier si deux populations de valeurs ont une distribution identique.
Ici la population étudiée est comparée à une distribution normale.
Un quantile est la fraction (ou le pourcentage) de valeurs inférieures à une limite. Ainsi Q_0,3 est la valeur de la variable pour laquelle 30% des valeurs de la population sont inférieure, et donc 70% sont supérieures.La courbe de répartition cumulée de la distribution étudiée est fractionnée en sections représentant des fractions égales (quantiles) de la population de valeurs. A chaque fraction est associée une valeur caractéristique qui est la valeur correspondant à la borne supérieure de la section.
La même opération est effectuée sur une distribution normale.
Un diagramme est construit avec pour chaque quantile, un point dont l'abcisse est la valeur correspondante pour la distribution normale et en ordonnée celle de la distribution analysée.
Si les points sont alignés, la distribution suit la loi normale.

Plus sur le web

NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods