Répartition granulométrique

Distribution des particules

Aussi important que le diamètre moyen, la répartition granulométrique permet de caractériser une population.
La distribution est essentiellement représentée graphiquement sous la forme d'une courbe de fréquence (ou densité de probabilité) ou bien une courbe de répartition en fréquences cumulées.
Pour représenter mathématiquement une telle distribution, les modèles les plus employés sont:

• distribution log-normale qui est une distribution normale avec une échelle logarithmique
• distribution de Rosin et Rammler

Distribution log-normale

Le modèle de distribution dite normale est la plus employée en statistique. Elle suppose que les valeurs se répartissent symétriquement autour de la moyenne. La moyenne des écarts à la moyenne est appelée l'écart-type. Il est identique pour les valeurs inférieures ou supérieurs à la moyenne.

Cette représentation n'est souvent pas pertinante pour des particules issues d'un procédé. De plus, si l'écart-type est grand, par extrapolation on peut désigner des particules ayant un diamètre négatif!

On préfèrera donc exprimer les diamètres par le logarithme de leur valeur.

Distribution de Rosin et Rammler

P. Rosin et E. Rammler l'appliquèrent en 1933 pour la représentation de distributions de tailles de particules (Rosin, P. and Rammler, E., 1933. Laws governing the fineness of powdered coal, J. Inst.Fuel, I: 29.).
Elle est équivalente à la distribution de Weibull décrite en 1939 par le mathématicien suédois Wallodi Weibull. Celle-ci fait l'objet d'une fonction dans les tableurs courants, permettant de tracer facilement les courbes de densité de probabilité et de répartition cumulée.
La formulation de Weibull fait appel à trois paramètres:

• un paramètre de forme (noté "Alpha" dans les fonctions de tableurs)
• un paramètre d'échelle (noté "Bêta" dans les fonctions de tableurs)
• un paramètre de position (absent des fonctions des tableurs)

Le paramètre de position ne fait que décaler la courbe par rapport au zéro de l'origine de la variable. La distribution est souvent définie avec deux paramètres seulement; le paramètre de position sera implicitement égal à zéro.

La formulation de Rosin & Rammler ne fait appel qu'à deux paramètres:

• n: est nommé constante d'uniformité (correspond au paramètre de forme de la formulation de Weibull)
• d₀: est nommé diamètre caractéristique et est défini comme le diamètre pour lequel 63,2% des particules de la distribution sont plus petites. Il correspond au paramètre d'échelle de la formulation de Weibull.

La densité de probabilité "f" et la fonction de répartition cumulée "F" d'une distribution de particule de diamètre "d" prennent la forme:

f = (n ⁄ d₀)(d ⁄ d₀)^n-1exp(-(d ⁄ d₀)ⁿ)

F = 1-exp(-(d ⁄ d₀)ⁿ)

En portant sur un graphique en coordonnées log-log, les valeurs:

• ln(1/(1-F))
• en fonction de d

les points sont alignées sur une droite dont la pente est égale à la constante d'uniformité "n" de la formulation de Rosin & Rammler.