Distribution des particules
Aussi important que le diamètre moyen, la répartition granulométrique
permet de caractériser une population.
La distribution est essentiellement représentée graphiquement sous la
forme d'une courbe de fréquence (ou densité de probabilité) ou bien une courbe de répartition en
fréquences cumulées.
Pour représenter mathématiquement une telle distribution, les modèles
les plus employés sont:
- distribution log-normale qui est une distribution normale
avec une échelle logarithmique
- distribution de Rosin et Rammler
Distribution log-normale
Le modèle de distribution dite normale est la plus employée en
statistique. Elle suppose que les valeurs se répartissent
symétriquement autour de la moyenne. La moyenne des écarts à la moyenne
est appelée l'écart-type. Il est identique pour les valeurs inférieures
ou supérieurs à la moyenne.
Cette représentation n'est souvent pas pertinante pour des particules
issues d'un procédé. De plus, si l'écart-type est grand, par
extrapolation on peut désigner des particules ayant un diamètre négatif!
On préfèrera donc exprimer les diamètres par le logarithme de leur
valeur.
Distribution de Rosin et Rammler
P. Rosin et E. Rammler l'appliquèrent
en 1933 pour la représentation de distributions de tailles de
particules (Rosin, P. and Rammler, E., 1933. Laws governing the fineness of powdered coal, J. Inst.Fuel, I: 29.).
Elle
est équivalente à la distribution de Weibull décrite en 1939 par le
mathématicien
suédois Wallodi Weibull. Celle-ci fait l'objet d'une fonction dans les
tableurs courants, permettant de tracer facilement les courbes de
densité de probabilité et de répartition cumulée.
La formulation de Weibull fait appel à trois paramètres:
- un paramètre de forme (noté "Alpha" dans les fonctions de tableurs)
- un paramètre d'échelle (noté "Bêta" dans les fonctions de tableurs)
- un paramètre de position (absent des fonctions des tableurs)
Le paramètre de position ne fait que décaler la courbe par rapport au
zéro de l'origine de la variable. La distribution est souvent définie
avec deux paramètres seulement; le paramètre de position sera
implicitement égal à zéro.
La formulation de Rosin & Rammler ne fait appel qu'à deux paramètres:
- n: est nommé constante d'uniformité (correspond au paramètre de forme de la formulation de Weibull)
- d0: est nommé diamètre caractéristique
et est défini comme le diamètre pour lequel 63,2% des particules de la
distribution sont plus petites. Il correspond au paramètre d'échelle de
la formulation de Weibull.
La
densité de probabilité "f" et la fonction de répartition cumulée "F"
d'une distribution de particule de diamètre "d" prennent la forme:
f = (n ⁄ d0)(d ⁄ d0)n-1exp(-(d ⁄ d0)n)
F = 1-exp(-(d ⁄ d0)n)
En portant sur un graphique en coordonnées log-log, les valeurs:
- ln(1/(1-F))
- en fonction de d
les
points sont alignées sur une droite dont la pente est égale à la
constante d'uniformité "n" de la formulation de Rosin & Rammler.
