Nombre de Nusselt

L'intensité du transfert thermique est représenté par le nombre de Nusselt, nombre sans dimension représentant le rapport du flux thermique effectif à ce qu'il serait en conduction pure. Sa valeur est donc de 1 au minimum (conduction seule). Des valeurs proches de 1 sont représentatives d'un écoulement laminaire du fluide, tandis que des valeurs de 100 à 1000 peuvent être obtenues en écoulement turbulent.

Le nombre de Nusselt n'est pas directement utilisable. Seul le coefficient de film (h), calculé à partir du nombre de Nusselt, est d'une utilité pratique.

On trouve dans la littérature de nombreuses corrélations entre nombre de Nusselt, nombre de Reynolds et nombre de Prandtl. Ces corrélations permettent de déterminer le nombre de Nusselt et d'en déduire le coefficient de film.

Mécanismes de transfert thermique

Le transfert de chaleur entre un fluide et une paroi fait appel à trois mécanismes:

le transfert par conduction:

la chaleur est transmise de proche en proche dans le matériau immobile

le transfert par convection: 

le mouvement du fluide apporte régulièrement au contact de la paroi, de la matière provenant de la masse du fluide. L'échange thermique avec la paroi n'est plus limité par la conductibilité du fluide. Le mouvement du fluide peut être provoqué naturellement (convection naturelle) par les différences de densité entre fluide chaud et froid, ou bien provoqué par la turbulence de l'écoulement (convection forcée).

le transfert par radiation:

le fluide ou la paroi chaude émet un rayonnement infrarouge qui est absorbé par le fluide ou la paroi froide. Ce mécanisme ne devient significatif comparé au transfert par convection forcée que pour des températures élevées (>500°C). Il ne sera donc pris en compte que dans les fours et sera négligé dans les échangeurs classiques. A température plus proches de l'ambiante, il peut être significatif comparé au transfert par convection naturelle, et sera pris en compte dans tout échange thermique avec l'air ambiant.

Le transfert par convection dépend des caractéristiques thermiques du fluide (capacité calorifique, conductibilité thermique) et de son degré de turbulence.
Le degré de turbulence est quantifié par le nombre de Reynolds, nombre sans dimension largement usité en mécanique des fluides.

Les caractéristiques thermiques du fluide sont quantifiées par le nombre sans dimension de Prandtl (Pr).
Quelques valeurs du nombre de Prandtl pour des fluides usuels:

Corrélations les plus courantes

Ecoulement dans un tube en régime laminaire (Re<2000)

L'écoulement en régime laminaire se caractérise par des lignes de courant parallèles, le liquide se déplaçant à des vitesses différentes: nulle près de la paroi, maximum au centre du tube.
Ce régime ne s'établi pas instantanément dès l'entrée du tube, mais se développe progressivement sur une distance fonction du nombre de Reynolds "Re". Ceci se répercute sur le profil de température radial du fluide dans le tube qui n'atteint un état stable qu'au bout d'une distance "X" fonction du Re et des propriétées du fluide représentées par le nombre de Prandtl "Pr". Cette distance est estimée par:

X/D = 0,05×Re×Pr

Pour un tube d'échangeur véhiculant de l'eau avec un Re = 2000, la longueur de tube affectée par ce régime transitoire serait de 700D soit 10 mètres pour un tube de 3/4".
Sur cette portion de tube, tant que le régime d'écoulement n'est pas établi, le nombre de Nusselt varie. Il convient donc de distinguer une valeur locale du nombre de Nusselt "Nu_loc", conduisant par intégration sur la longueur du tube à un nombre de Nusselt moyen "Nu_moy", utile pour les calculs d'échange thermique. Le diamètre du tube "D" est utilisé comme longueur caractéristique "L_c" dans l'expression du nombre de Nusselt.

Ecoulement dans un tube en régime turbulent

Le diamètre du tube "D" est utilisé comme longueur caractéristique "L_c" dans l'expression du nombre de Nusselt.

Ecoulement autour d'un tube

Contrairement à l'écoulement dans un tube, l'écoulement autour d'un tube, par la formation d'un sillage, n'est pas uniforme sur l'ensemble de sa surface. Les corrélations proposées donnent des valeurs moyennes du nombre de Nusselt.

Le diamètre du tube "D" est utilisé comme longueur caractéristique "L_c" dans l'expression du nombre de Nusselt.

En réacteur agité

La relation de Sieder et Tate est souvent utilisée pour prédire le transfert thermique à la paroi d'un réacteur agité.

    Nu = C∙Re^0,667 Pr^p (µ_f /µ_p)^q

avec:
Re = ρ∙n∙d² /µ_f
n: vitesse de rotation (tour/sec)
d: diamètre de l'agitateur (m)
µ_f : viscosité du fluide à la température du réacteur (Pa.sec)
µ_p : viscosité du fluide à la température de la paroi (Pa.sec)
Lc : diamètre interne du réacteur (m)

Elle fait appel à des coefficients déterminés expérimentalement en fonction du type d'agitateur.

Agitateur	Coefficients	Re valides
hélice	C= 0,33 p= 0,33 q= 0,14	2E+04<Re>2E+06
ancre	C= 0,55 p= 0,25 q=0,14	5E+03<Re<4E+04
turbine	C= 0,44 p= 0,33 q=0,24	200<Re<1000

Ecoulement vertical en convection naturelle

Ces corrélations s'appliquent pour une paroi à la température Tp, baignée par un fluide dont la température loin de la paroi est Tf. Si Tp>Tf, des filets de fluide se déplacent verticalement à une vitesse variable selon la hauteur.
Le mouvement du fluide dépend de sa densité, sa viscosité, son coefficient de dilatation, la dimension de la paroi  et le gradient de température. Il est quantifié par le nombre sans dimension de Grashof. L'écoulement est laminaire si Gr<10⁹

Relation simplifiée pour l'air à pression atmosphérique

Une des applications importantes du calcul de transfert thermique en convection naturelle concerne le refroidissement des équipements exposés à l'air. Le coefficient de film du transfert thermique par convection est donné directement dans tableau ci-dessous.

Géométrie	Régime laminaire 104<Gr∙Pr<109	Régime turbulent Gr∙Pr>109
Plaque ou cylindre vertical	h=1,42[(Tp-Tf)/L]1/4	h=1,31(Tp-Tf)1/3
Cylindre horizontal	h=1,32[(Tp-Tf)/D]1/4	h=1,24(Tp-Tf)1/3
Face supérieure d'une plaque horizontale chaude ou face inférieure d'une plaque froide	h=1,32[(Tp-Tf)/L]1/4	h=1,52(Tp-Tf)1/3
Face inférieure d'une plaque chaude ou face supérieure d'une plaque froide	h=0,59[(Tp-Tf)/L]1/4	h=0,59[(Tp-Tf)/L]1/4

Exemples d'application

1- Chauffage d'eau en écoulement dans un tube

Soit un tube d'échangeur de 3/4" (15mm de diamètre interne), parcouru par un débit d'eau entrant à 20°C et circulant à 1,5m/sec, chauffé par condensation de vapeur d'eau à 100°C.
Re = 998×1,5×15∙10^-3/1∙10^-3 = 22455
l'écoulement dans le tube est turbulent
Le film liquide en contact avec la paroi est à une température intermédiaire entre la température de la masse (20°C) et la température de la paroi (100°C)
Pr = 7 à 20°C
Pr = 1,75 à 100°C
la valeur moyenne du nombre de Prandtl (Pr) est de 4,4
par application de la corrélation de Dittus-Boelter
Nu=0,023Re^4/5Pr^0,4
Nu = 126 et donc h = Nu×λ/D = 126×0,63/15∙10^-3 = 5300 W/m²/°C

2- Refroidissement naturel d'un bac de stockage par l'air ambiant

Soit un bac de stockage non isolé de 5m de hauteur contenant un liquide à 40°C, en période hivernale avec une température de l'air ambiant à 0°C. On peut considérer que la paroi du bac est à la température du liquide.

Nombre de Prandtl (Pr) pour l'air à 0°C: 0,715
Nombre de Grashof pour l'air à 0°C:
Gr = 3,67∙10^-3×9,81×(40-0)×(1,284)²×5³/(1,725∙10^-5)²
Gr = 0,997∙10¹²
Gr.Pr = 0,713∙10¹²  >10⁹  l'écoulement de l'air est turbulent
Nu = (0,825+0,387(Gr∙Pr)^1/6/(1+(0,492/Pr)^9/16)^8/27)²
Nu = (0,825+0,387(0,713∙10¹²)^1/6/(1+(0,492/0,715)^9/16)^8/27)² = 890
et donc h = Nu×λ/L_c = 890×0,024/5 = 4,3 W/m²/°C

par application de la formule simplifiée:
h = 1,31(40-0)^1/3 = 4,5 W/m²/°C

Sources

Lévêque

A. Lévêque, Les lois de la transmission de chaleur par convection, Ann. Mines, vol. 13, pp. 201-299, 305-362, 381-415, 1928.

Shah et Bhatti

R. K. Shah, and M. S. Bhatti, "Laminar Convection Heat Transfer in Ducts," Handbook of Single Phase Convective Heat Transfer, eds. S. Kakaq, R. K. Shah, and W. Aung, Wiley-Interscience, John Wiley & Sons, New York, 1987.

Variables et Unités

Variable	Dimension	Unité SI
h: coefficient de film		W/m²/°C
Cp: capacité calorifique du fluide		J/kg/°C
λ: conductivité thermique du fluide		W/m/°C
Lc: longueur caractéristique dans l'expression du nombre de Nusselt	L	m
D: diamètre de la tuyauterie ou bien diamètre hydraulique équivalent =4A/C	L	m
U: vitesse du fluide	LT-1	m/sec
ρ: masse volumique du fluide	ML-3	kg/m3
µ: viscosité dynamique du fluide	ML-1T-1	Poiseuille (Pl) Pa.sec
β: coefficient de dilatation cubique du fluide		m3/m3/°C
A: aire de passage	L2	m²
C: périmètre mouillé	L	m
g: accélération due à la pesanteur	LT-2	m/sec2
M: masse      L: longueur      T: temps