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Facteur de correction de DTLM des échangeurs de chaleur

Sommaire de la page:

Intensité du transfert thermique
Différence de température moyenne
Abaques du facteur de correction
Equations de calcul du facteur de correction
Exemples d'utilisation

Voir aussi ...

Intensité du transfert thermique

L'intensité du transfert thermique entre deux fluides dans un échangeur suit la loi de Fourier:

Q = U . S . F . ΔT

avec:
Q: quantité de chaleur échangée (Watts)
F: facteur correctif de la différence de température (sans dimension)
U: coefficient de transfert thermique global (W/m²C)
S: surface de transfert thermique (m²)
ΔT: différence de température moyenne entre le fluide chauffant et le fluide chauffé (°C)

F dépend de la géométrie de l'échangeur. F=1 pour un échangeur à contre-courant parfait. Pour des raisons économiques, les échangeurs industriels sont généralement conçus pour F>0,8

Différence de température moyenne

Le profil de température n'étant pas linéaire, on emploie habituellement une moyenne logarithmique de la différence de température, nommée:
- DTLM en français (Différence de Température Logarithmique Moyenne)
- LMTD en anglais (Logarithmique Mean Temperature Difference)

DTLM en co-courant:

avec:
Te, Ts: températures entrée/sortie côté chaud
te, ts : températures entrée/sortie côté froid

DTLM en contre-courant:

avec:
Te, Ts: températures entrée/sortie côté chaud
te, ts : températures entrée/sortie côté froid

Les échangeurs parfaits sont définis comme des surfaces au contact desquelles les fluides à réchauffer ou refroidir cheminent parallèlement. Leur cheminement peut être:
- à co-courant (dans la même direction)
- à contre-courant (dans des directions opposées)

La circulation à contre-courant est la plus efficace, car elle maintient une plus grande différence de température entre les fluide tout au long de leur parcours.
La géométrie des échangeurs réels fait que leur fonctionnement s'écarte de celui d'un échangeur parfait à contre-courant. La circulation des fluides est partiellement à co-coutant, partiellement à contre-courant et partiellement à courants croisés. Leur efficacité s'en trouve réduite si on la compare à celle d'un échangeur parfaitement à contre-courant.
Cette perte d'efficacité est représentée dans la relation de Fourier, par un facteur correctif "F" de la différence de température moyenne.

Ce facteur correctif dépend de la géométrie de l'échangeur mais aussi du profil de température. Ce dernier est représenté par deux facteurs généralement nommés R et P (dans la littérature anglo-saxonne), dont les définitions sont les suivantes:

Paramètres R et P pour correction du ΔT:

{\begin{matrix} R = \frac{(T e - T s)}{(t s - t e)} \\ P = \frac{(t s - t e)}{(T e - t e)} \end{matrix}} \begin{matrix} ou \\ bien \end{matrix} {\begin{matrix} R = \frac{| Θ e - Θ s |_{\min}}{| Θ s - Θ e |_{\max}} \\ P = \frac{| Θ e - Θ s |_{\max}}{| T e - t e |} \end{matrix}}

\begin{matrix} T e; T s & températures entrée; sortie coté calandre \\ t e; t s & températures entrée; sortie coté tubes \\ Θ e - Θ s & changement de température du fluide \\ | Θ e - Θ s |_{\min} & valeur la plus faible \\ | Θ e - Θ s |_{\max} & valeur la plus élevée \end{matrix}

avec:
Te, Ts: températures entrée/sortie côté calandre
te, ts : températures entrée/sortie côté tubes
|Θe-Θs|: changement de température du fluide

R correspond au rapport des débits de capacité calorifiques (M.Cp) des deux fluides ou encore au rapport des changements de température de chaque fluide; il peut varier de 0 à +∞.
P correspond à une efficacité thermique de l'échangeur; si l'un des fluides sort de l'échangeur à la température d'entrée de l'autre fluide, l'échange maximum possible est atteint: P = 1.

R et P sont calculés grâce au profil des températures de l'échangeur.

Deux définitions de P et R sont proposées:

pour les échangeurs à tubes et calandre, les fluides sont repérés selon qu'ils circulent dans la calandre ou dans les tubes; 0 ≤ R < +∞
les fluides sont repérés selon que leur changement de température est le plus grand ou le plus petit; 0 ≤ R ≤ 1; P représente alors le rendement de l'échangeur: P = Q / Q_max

Les deux définitions sont également utilisables, tant qu'on ne les mélange pas car les valeurs obtenues sont différentes. Cependant dans les deux cas, le couple R,P permet de lire sur les graphiques ou bien de calculer la même valeur de F.

Exemple:
Un échangeur à 2 passes de tubes et 1 calandre (E 1-2) présentant le profil suivant:
Te=70 Ts=60 te=30 ts=50 --> R=10/10=2 P=10/40=0,25
|Θe-Θs|_min=10 |Θe-Θs|_max=20 --> R=10/20=0,5 P=20/40=0,5
Dans les deux cas la valeur de F lue sur le graphique est de 0,94

Dans la pratique, on recherchera des géométries telles que le facteur correctif soit supérieur à 0,8.

Abaques du facteur de correction

On trouve dans la littérature des abaques donnant le facteur de correction en fonction des paramètres R et P pour différentes géométries. Ces graphes sont le plus souvent dédiés aux échangeurs à tubes et calandre. Mais en fait ils ne dépendent pas de la technologie employée mais seulement du nombre et du type de passes de la configuration.

Les abaques présentées ici ont été obtenues en appliquant les équations ci-dessous.

Correction de DTLM pour 1 calandre et 4 passes coté tubes

Correction DTLM pour 2 calandres et 2 passes coté tubes

Facteur de correction de DTLM pour 3 calandres à 2 passes Correction de DTLM pour 4 calandres et 2 passes coté tubes

Equations de calcul du facteur de correction

Pour les calculs sur ordinateur il est indispensable de disposer d'équations.
Les principales équations publiées sont rassemblées ci-dessous:

Il n'est pas toujours possible d'exprimer explicitement F en fonction de R et P. L'expression générique de F en fonction de R, P et le nombre d'unité de transfert (NUT) est:

si R différent de 1:

si R=1

Expression de F si R=1

pour la configuration retenue, NUT peut être calculé en résolvant l'équation P=f(NUT) correspondante. F peut ensuite être calculé grâce à l'équation générique ci-dessus.

Configuration	P=f(NUT)
TEMA E 1-2
N échangeurs en série l'association de plusieurs calandres en série, en réduisant l'exigence d'efficacité thermique sur chaque (P₍₁₎), augmente le facteur de correction du DTLM (F) de l'ensemble.	$pour R \neq 1 P_{(N)} = \frac{[\frac{1 - R . P_{(1)}}{1 - P_{(1)}}]^{N} - 1}{[\frac{1 - R . P_{(1)}}{1 - P_{(1)}}]^{N} - R}$ $pour R = 1 P_{(N)} = \frac{N . P_{(1)}}{N . P_{(1)} - P_{(1)} + 1}$ $pour R \neq 1 P_{(1)} = \frac{[\frac{1 - R . P_{(N)}}{1 - P_{(N)}}]^{\frac{1}{N}} - 1}{[\frac{1 - R . P_{(N)}}{1 - P_{(N)}}]^{\frac{1}{N}} - R}$ $pour R = 1 P_{(1)} = \frac{P_{(N)}}{N - N . P_{(N)} + P_{(N)}}$ L'efficacité de chaque échangeur "P₍₁₎" est déduite de l'efficacité de l'ensemble des N échangeurs "P_(N)" par application de la relation de Bowman suivante:
TEMA E 1-4	NUT doit être calculé en résolvant l'équation ci-dessus
TEMA J 1-1	$P = \frac{1}{R} [1 - \frac{(2 - R) (2 A + R . B)}{(2 + R) (2 A - R ∕ B)}]$ $A = e^{N U T}$ $B = e^{(- N U T \frac{R}{2})}$ NUT doit être calculé en résolvant l'équation ci-dessus
TEMA J 1-2	NUT doit être calculé en résolvant l'équation ci-dessus
TEMA J 1-4	NUT doit être calculé en résolvant l'équation ci-dessus
TEMA G 1-2 pour les services nécessitant une faible perte de charge coté calandre ou avec changement de phase (condensation ou ébullition)	NUT doit être calculé en résolvant l'équation ci-dessus
TEMA H 1-2 pour les services nécessitant une faible perte de charge coté calandre ou avec changement de phase (condensation ou ébullition)	$P = \frac{1}{R} [1 - \frac{{(1 - D)}^{4}}{B - 4 G / R}]$ $B = (1 + H) {(1 + E)}^{2}$ $G = {(1 - D)}^{2} (D^{2} + E^{2}) + D^{2} {(1 + E)}^{2}$ $H = \frac{1 - e^{- 2 β}}{4 / R - 1}$ $E = \frac{1 - e^{- β}}{4 / R - 1}$ $D = \frac{1 - e^{- α}}{4 / R + 1}$ $α = N T U \frac{(4 + R)}{8}$ $β = N T U \frac{(4 - R)}{8}$ NUT doit être calculé en résolvant l'équation ci-dessus
Echangeur croisé (les deux côtés canalisés)	pour R<1: pour R>1: inverser les cotés chaud et froid ou remplacer dans les formules P par P' = P.R R par R' = 1/R NUT doit être calculé en résolvant l'équation ci-dessus
Echangeur croisé (1 côté canalisé)	Si le fluide dont M.Cp est max (\|Θ_e-Θ_s\|_min) est canalisé : $\begin{matrix} Pour R \neq 1 \\ Fluide canalisé: \| Θ_{e} - Θ_{s} \|_{\min} ou {(M . C p)}_{\max} \\ P = 1 - e^{- \frac{1}{R} (1 - e^{- R . N U T})} \\ N U T = \frac{1}{R} \ln (\frac{1}{1 + R \ln (1 - P)}) \end{matrix}$ Si le fluide dont M.Cp est min (\|Θ_e-Θ_s\|_max) est canalisé : $\begin{matrix} Pour R \neq 1 \\ Fluide canalisé: \| Θ_{e} - Θ_{s} \|_{\max} ou {(M \cdot C p)}_{\min} \\ P = \frac{1}{R} (1 - e^{- R (1 - e^{- N U T})}) \\ N U T = \ln (\frac{1}{1 + (\frac{1}{R}) \ln (1 - R P)}) \end{matrix}$ $\begin{matrix} pour R = 1 \\ P = 1 - e^{- (1 - e^{- N U T})} \\ N U T = \ln (\frac{1}{1 + \ln (1 - P)}) \end{matrix}$

Sources:

R. K. Shah et D. P. Sekulic, Fundamentals of Heat Exchanger Design
F. P. Incropera et D. P. Dewitt, Fundamentals of Heat and Mass Transfer, 6th Ed, John Wiley & Sons

Exemples d'utilisation

Exemple d'utilisation n°1

On souhaite refroidir de 70 à 50°C 100 litres/heure d'une huile:
- de masse volumique = 0,8 kg/lit
- de chaleur spécifique = 0,5 kcal/kg
par 100 litres/heure d'eau à 25°C, dans un échangeur à tubes et calandre.
L'huile sera côté calandre et l'eau côté tubes.
Le profil de température s'établira comme suit:
- Te= 70°C
- Ts= 50°C
- te= 25°C
- ts= 33°C
- R= 2,5
- P= 0,18
On recherche dans les tableaux des coefficients de correction, la géométrie d'échangeur la mieux adapté (coefficient >0,8 pour la géométrie la plus simple).
Il ressort qu'un échangeur à une seule passe coté calandre et 2 passes coté tube présente dans ce cas un coefficient supérieur à 0,9.
Une configuration à courant croisés pourrait aussi être employée. Cette géométrie est plus courante avec de l'air comme fluide refroidissant (aérothermes).

Exemple d'utilisation n°2

On souhaite réchauffer une huile froide de 20 à 60°C avant son entrée dans un appareil à l'aide de l'huile chaude en sortant à 70°C au même débit.
L'huile chaude passera dans les tubes et l'huile froide dans la calandre.
Le profil de température s'établira comme suit:
- Te= 20°C
- Ts= 60°C
- te= 70°C
- ts= 30°C
- R= 1,0
- P= 0,8
Les tableaux des coefficients de correction montrent qu'une configuration à 3 passes coté calandre (coeff=0,6) nécessitera 50% plus de surface qu'une configuration à 6 passes (coeff=0,9).

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