Les nombres sans dimension

Les nombres sans dimension sont obtenus par le rapport de grandeurs ayant une même dimension. Ainsi la densité d'une substance, étant le rapport de la masse volumique de cette substance sur la masse volumique de l'eau, est un nombre sans dimension. 

Ils sont d'un usage très courant dans la description des phénomènes thermiques ou hydrauliques. Le plus emblématique d'entre eux est sans doute le nombre de Reynolds.

Ils sont utilisés pour caractériser un état physique indépendament de la taille de l'espace sur lequel il est observé. Ceci est particulièrement utile pour extrapoler les observations faites sur maquettes.

Les nombres sans dimension ne doivent pas être confondus avec des constantes.

Etant sans dimension, ils sont la plupart du temps présentés sans unité, ce qui fait que leur valeur reste inchangée quel que soit le système d'unité utilisé. Attention cependant il est important que numérateur et dénominateur de l'expression du nombre sans dimension utilisent les mêmes unités.

Les nombres sans dimension les plus utilisés en génie des procédés:

 - Reynolds
 - Froude
 - Nusselt
 - Prandtl
 - Grashof
 - Archimède
 - Rayleigh
 - Schmidt
 - Lewis
 - Sherwood
 - Peclet
 - Stanton/Margoulis
 - Mach

La dimension d'une grandeur

La dimension d'une grandeur physique exprime le type d'information à laquelle il se rapporte. Ce peut être une longueur, une masse, un temps, une vitesse, une pression,  ....
La grandeur physique elle-même est constituée d'une valeur et d'une unité. (exemple: 2 mètres, 30 secondes, 100 grammes, ...)
Certaines dimensions sont la combinaison d'autres dimensions; une vitesse est une longueur divisées par un temps.
Il existe sept dimensions de base à partir desquelles on peut définir toutes les dimensions des grandeurs physiques:
 - longueur (L)
 - masse (M)
 - temps, durée (T)
 - intensité électrique (I)
 - température (Θ)
 - quantité de matière (N)
 - intensité lumineuse (J)
La dimension d'une grandeur peut toujours être exprimée sous la forme:
Dim = L^a.M^b.T^c.I^d.Θ^e.N^f.J^g



Les systèmes d'unité définissent les unités à utiliser:

Grandeur	SI ou MKS	CGS	Impérial
Longueur	mètre (m)	centimètre (cm)	inche (in)
Masse	kilogramme (kg)	gramme (g)	pound (lb)
Temps	seconde (s)	seconde (s)	seconde (s)
Force	Newton (N)	dyne (dyn)	pound force (lbf)
Pression	Pascal (Pa)	barye (Ba)	lbf/in² (psi)
Energie	Joule (J)	erg	BTU

Le principe de similitude

La transposition d'un phénomène physique d'un milieu à un autre est une préoccupation ancienne puisqu' Aristote quelques 300 ans avant JC énonçait déjà des règles pour transposer la vitesse de chute d'un corps dans l'eau ou l'air.
Pour que les informations tirées d'un équipement à une échelle réduite (maquette) soient extrapolables, celui-ci doit être "similaire" à l'équipement réel, c'est-à-dire respecter des règles de similitude.

Les types de similitude

 - similitude géométrique

mêmes rapports de dimensions homologues pour l'équipement réel et l'équipement modèle

 - similitude cinématique (vitesse, accélération, ...)

mêmes rapports de vitesses pour les points homologues des équipements réel et modèle

 - similitude dynamique (forces d'inertie, forces motrices, ...)

même rapport des forces appliquées à des éléments homologues

 - similitude thermique

même rapport de gradient de température

 - similitude chimique

même rapport de gradient de concentration

 - similitude lumineuse

dans les réacteurs photochimiques

 - similitude électrique

dans les réacteurs électrochimiques

Dès 1890 Aimé Vaschy montrait que le nombre de paramètres à prendre en compte peut être réduit en les regroupant sous forme de nombres sans dimension. La similitude entre maquette et équipement réel est alors assurée si les nombres adimensionnels sélectionnés sont égaux.

En pratique, le respect simultané de tous les critères de similitude est rarement possible. Les critères les moins critiques doivent donc être abandonnés.

La représentation du transfert

Les équipements de procédé intègrent souvent au moins une des fonctions de transfert de chaleur, de matière ou de quantité de mouvement. On entend par transfert le déplacement de chaleur, de matière ou de mouvement depuis la masse du fluide vers une interface.  Ces transferts vers une interface passent par un mécanisme de diffusion moléculaire (conduction), un phénomène de turbulence (convection) ou le plus souvent un mélange des deux.

Transfert par conduction

Dans un milieu à la fois immobile (sans mouvement d'écoulement) et tranquille (sans remous), les seuls mouvements se font à l'échelle moléculaire. Les déplacements sont provoqués par un gradient de potentiel entre la masse du fluide et le fluide au contact de l'interface. Les évolutions macroscopiques sont décrites à notre échelle par des lois linéaires simples. Elles se présentent sous une même formulation générique:

Il en est de même pour les fluides en mouvement linéaire sans tourbillon (régime laminaire). Les transferts transversaux ne sont dûs qu'aux phénomènes de conduction (pour le transfert thermique ou de matière) ou au phénomène de viscosité pour la quantité de mouvement. 

En fonction du type de transfert considéré, les paramètres de cette formulation sont:

type de transfert	flux spécifique (unité SI)	conductivité	gradient	Loi physique de référence
thermique	de chaleur (W/m²)	conductivité thermique λ (W/m/K)	de température ΔT/L (K/m)	loi de Fourier
matière	de matière (mole/s/m²)	coefficient de diffusion Dab (m²/s)	de concentration ΔC/L (mole/m3/m)	loi de Fick
quantité de mouvement (par viscosité) (pour les fluides newtoniens)	de mouvement (N/m²)	viscosité dynamique µ (Pa.s)	de vitesse U/L (m/s/m)	loi de Newton

Transfert par convection

Dans le mécanisme de transfert par convection, la grandeur à transférer est transportée vers l'interface par le fluide lui-même. Le mouvement du fluide peut être dû à une agitation mécanique, des variations de densité, un écoulement turbulent, ....

Le flux spécifique transporté vers l'interface est le produit d'une vitesse par une capacité volumique.

Le flux spécifique transféré est le produit du flux transporté par la quantité de potentiel cédé à l'interface.

type de transfert	flux spécifique (unité SI)	conductance (vitesse * capacité)	différence
thermique	de chaleur (W/m²)	v.ρ.Cp (W/m²/K)	de température ΔT (K)
matière	de matière (mole/s/m²)	v (m/s)	de concentration ΔC (mole/m3)
quantité de mouvement (par inertie) (pour les fluides newtoniens)	de mouvement (N/m²)	v.ρ (kg/m²/s)	de vitesse v - 0 (m/s)

Transfert global

Dans un milieu agité ou en écoulement turbulent, le transport par les tourbillons se superposent aux transferts moléculaires, et sont généralement plus rapides.

type de transfert	flux spécifique (unité SI)	coefficient de transfert	différence
thermique	de chaleur (W/m²)	coefficient global de transfert thermique h (W/m²/K)	de température ΔT (K)
matière	de matière (mole/s/m²)	coefficient de transfert matière k (mole m/s)	de concentration ΔC (mole/m3)
quantité de mouvement (pour les fluides newtoniens)	de mouvement (N/m²)	b (Pa.s/m)	de vitesse U - 0 (m/s)

Diffusivité

La diffusivité d'un fluide ou d'un matériau est définie comme le rapport de sa conductivité sur sa capacité volumique . Elle peut être vue comme l'aptitude à transmettre une variation de potentiel, ou encore comme l'inertie du fluide.
La diffusivité peut se rapporter à chacun des trois types de transfert, chaleur, matière et mouvement. La capacité volumique est le terme de conductance de l'expression du transfert par convection divisé par la vitesse locale:

type de transfert	conductivité	conductance	diffusivité
thermique	conductivité thermique λ (W/m/K)	v.ρ.Cp (W/m²/K)	thermique α = λ / ρ.Cp (m²/s)
matière	coefficient de diffusion Dab (m²/s)	v (m/s)	coefficient de diffusion Dab (m²/s)
quantité de mouvement (pour les fluides newtoniens)	viscosité dynamique µ (Pa.s)	v.ρ (kg/m²/s)	viscosité cinématique ν = µ / ρ (m²/s)

Les nombres sans dimension usuels

La part du phénomène de turbulence dans le mécanisme de transfert est la plus difficile à modèliser et c'est pourquoi de nombreuses corrélations expérimentales obtenues en laboratoire, sur des maquettes, sont proposées pour représenter l'efficacité de ces transferts. Elles sont basées sur des nombres sans dimension.

pour le transfert thermique

Nusselt (Nu)

En hommage au physicien allemand Ernst Kraft Wilhelm Nusselt pour ses travaux sur le transfert thermique par convection.
Le nombre de Nusselt, caractérise l'intensité d'un transfert thermique par convection. C'est le rapport de la densité de flux thermique effectif (h.ΔT) à ce qu'elle serait en conduction pure (λ.ΔT / L). Sa valeur est donc de 1 au minimum (conduction seule). Des valeurs proches de 1 sont représentatives d'un écoulement laminaire du fluide, tandis que des valeurs de 100 à 1000 peuvent être obtenues en écoulement turbulent.
De nombreux auteurs ont proposé des corrélations prédisant le nombre de Nusselt en fonction des nombres de Reynolds, de Prandtl ou de Grashof.
Le nombre de Nusselt n'est pas directement utilisable. Seul le coefficient de film (h), calculé à partir du nombre de Nusselt, est d'une utilité pratique.

Péclet thermique (Pe_th)

Le nombre de Péclet thermique correspond au rapport du transfert thermique par convection (v.ρ.Cp.ΔT) sur le transfert thermique par conduction (λ.ΔT / L).

Les termes de vitesse locale du fluide (v) et de longueur (L) de la couche limite n'étant pas connus, ils sont remplacés par convention respectivement par la vitesse moyenne du fluide (U) et par une longueur caractéristique de l'équipement.

Stanton thermique (St_th)

Le nombre de Stanton thermique (St_th) correspond au rapport du transfert thermique total (h.ΔT) sur le transfert thermique par convection (v.ρ.Cp.ΔT).

pour le transfert de matière

Sherwood (Sh)

Le nombre de Sherwood correspond au rapport du transfert de matière total (k.ΔC) sur le transfert de matière par diffusion (D_ab.ΔC / L).
Le nombre de Sherwood est l'équivalent du nombre de Nusselt pour le transfert de matière.

Péclet matière (Pe_mat)

Le nombre de Péclet matériel correspond au rapport du transfert matériel par convection (v.ΔC) sur le transfert matériel par diffusion (D_ab.ΔC / L).

Les termes de vitesse locale du fluide (v) et de longueur (L) de la couche limite n'étant pas connus, ils sont remplacés par convention respectivement par la vitesse moyenne du fluide (U) et par une longueur caractéristique de l'équipement.

Stanton matière (St_mat)

Le nombre de Stanton matière (St_mat) correspond au rapport du transfert massique total (k.ΔC) sur le transfert massique par convection (v.ΔC).

pour le transfert de mouvement

Reynolds (Re)

Le nombre de Reynolds (Re) compare les forces d'inertie et les forces de viscosité qu'il faut vaincre pour mettre un fluide en mouvement. C'est le rapport des quantités de mouvement transférées par inertie sur celle transférée par viscosité.
Le nombre de Reynolds est largement utilisé pour prédire le comportement d'un fluide en écoulement. Par exemple à l'intérieur d'une conduite:
 - Si Re est <1600 le régime d'écoulement est dit laminaire; la perte de charge générée est proportionelle au débit.
 - Si Re>2300, le régime d'écoulement est dit turbulent; la perte de charge générée est proportionelle au carré du débit.

Froude (Fr)

Ainsi nommé en hommage à William Froude pour ses travaux sur la relation entre la longueur des navire et la résistance à leur avancement dans l'eau.
Le nombre de Froude compare les forces d'inertie et les forces gravitationnelles. Il caractérise l'importance relative des forces liées à la vitesse par rapport à la force de pesanteur.
Il est principalement utilisé pour caractériser les écoulements à surface libre (écoulement en caniveau par exemple) ou les écoulements en milieu agité.
Dans les canneaux ouvert, avec Lc représentant la profondeur du flux, le régime est qualifié de "fluvial" si Fr<1 et de "torrentiel" si Fr>1.
Dans les milieux agités, avec N représentant la vitesse de rotation de l'agitateur, et D son diamètre, Fr doit être plus grand que 1 pour générer des mouvements de convection dans le milieu.

Grashof (Gr)

Le nombre de Grashof est le rapport de l'effet de flottation dû à la poussée d'Archimède sur l'effet de la résistance à l'écoulement. Il est utilisé pour les modèlisations de phénomènes impliquant une convection naturelle générée par une variation de température du fluide.
Le mouvement du fluide dépend de sa densité, sa viscosité, son coefficient de dilatation, la dimension de la paroi  et le gradient de température. L'écoulement est laminaire si Gr<10⁹

Archimède (Ar)

Très similaire au nombre de Grashof il caractérise le mouvement d'un corps dans un fluide dû à leur différence de densité. Il est utilisé pour les modèlisations de phénomènes n' impliquant pas de variation de température.
Le mouvement du corps dépend des densités du corps et du fluide, ainsi que la viscosité du fluide.

Mach

Le nombre de Mach exprime le rapport entre les forces d'inertie et les forces élastiques. En pratique le nombre de Mach est le rapport de la vitesse locale d'un fluide sur la vitesse du son dans ce fluide.
Le nombre de Mach est important pour les écoulements de fluides compressibles à haute vitesse. Pour:
 - Ma > 1 l'écoulement est dit supersonique
 - Ma < 1 l'écoulement est dit subsonique
 - Ma < 0,3 l'écoulement peut être assimilé à celui d'un fluide incompressible. Le nombre de Reynolds (Re) doit alors être pris en compte.

pour les transferts simultanés

Prandtl (Pr)

En hommage au physicien allemand Ludwig Prandtl. Le nombre de Prandtl (Pr) compare la diffusivité du mouvement (µ / ρ) et la diffusivité thermique (λ / Cp.ρ) au sein d'un fluide.
C'est une caractéristique intrinsèque d'un fluide. Un fluide peu visqueux et conducteur de la chaleur présentera un Pr faible, tandis qu'au contraire un fluide visqueux et peu conducteur présentera un Pr élevé. Les gaz présentent un Pr proche de 0,75.

Fluide	Pr
Eau à 20°C	7,0
Eau à 100°C	1,75
Eau à 250°C	0,87
Air à 0°C et Patm	0,715
Air à 120°C et Patm	0,70
Air à 250°C et Patm	0,68

Rayleigh (Ra)

Le nombre de Rayleigh est la combinaison des nombres de Prandtl (Pr) et de Grashof (Gr): Ra = Gr × Pr
Il caractérise le régime d'écoulement d'un fluide en convection naturelle. Une valeur basse indique un régime laminaire, tandis qu'une valeur élevée indique un régime turbulent. En dessous d'une valeur critique, il n'y a pas de mouvement.

Schmidt (Sc)

Du nom de l'ingénieur allemand Ernst Heinrich Wilhelm Schmidt. Le nombre de Schmidt est l'équivalent du nombre de Prandtl pour le transfert matière.
Le nombre de Schmidt (Sc) compare la diffusivité du mouvement (µ / ρ) et la diffusivité moléculaire (D_ab) d'une espèce au sein d'un fluide.


Quelques exemples de valeurs pour le nombre de Schmidt

Espèce diffusant dans l'air	Sc à 25°C	Espèce diffusant dans l'eau	Sc à 25°C
Hydrogène	0,37	Hydrogène	185
Vapeur d'eau	0,59	Oxygène	558
Dioxyde de carbone	0,93	Dioxyde de carbone	468
n-octane	2,5	Chlorure de sodium	745

Lewis (Le)

Le nombre de Lewis (Le) est le rapport de la diffusivité thermique (α = λ / ρ.Cp) sur la diffusivité de moléculaire (D_ab).

Variables et Unités

Variable	Dimension	Unité SI
h: coefficient de film	MT-3θ-1	W/m²/K
Cp: capacité calorifique du fluide	L2T-2θ-1	J/kg/K
Tf, Tp: température du fluide ou de la paroi	θ	K
λ: conductivité thermique du fluide	MLT-3θ-1	W/m/K
Lc: longueur caractéristique dans l'expression des nombres sans dimension	L	m
D: diamètre de la tuyauterie ou bien diamètre hydraulique équivalent =4A/C	L	m
A: section de passage	L2	m²
C: concentration	NL-3	mole/m3
F: débit du fluide	L3T-1	kg/sec
U: vitesse du fluide	LT-1	m/sec
ρ: masse volumique du fluide	ML-3	kg/m3
v: vitesse locale du fluide	LT-1	m/sec
γ: Cp/Cv: rapport des capacités calorifiques à pression constante (Cp) et à volume constant (Cv)	-	-
µ: viscosité dynamique du fluide	ML-1T-1	Poiseuille (Pl) Pa.sec
ν: viscosité cinématique	L2T-1	m²/s
β: coefficient de dilatation cubique du fluide	θ-1	m3/m3/K
g: accélération due à la pesanteur	LT-2	m/sec2
Dab: diffusivité de a dans b	L2T-1	m²/s
k: coefficient global de transfert de matière	LT-1	m/s
N: vitesse de rotation	T-1	s-1
M: masse      L: longueur      T: temps      θ: température      N: quantité de matière