Facteur de frottement dans les tuyauteries

Equation de Darcy

Le facteur de frottement f ou  f_D intervient dans l'équation de Darcy exprimant la perte de charge ou de la perte de pression lors d'un écoulement de fluide gazeux ou liquide, dans une tuyauterie. C'est un nombre sans dimension: sa valeur est donc la même quelque soit le système d'unités utilisé pour les autres variables.

Les anglo-saxons utilisent le "Fanning friction factor" f_F qui est le facteur équivalent dans l'équation de J. T. Fanning. Les deux facteurs peuvent être aisément confondus dans la littérature et ne sont pourtant pas interchangeables. Mais il est heureusement aisé de convertir l'un et l'autre puisque:

f_D = 4 f_F

Le facteur de frottement peut aussi être nommé coefficient de perte de charge linéaire qui ne doit pas être confondu avec les coefficients de perte de charge singulière.

Le tableau ci-dessous résume les équations utiliser selon l'expression de f:

Relation de Colebrook et White

Bien que satisfaisante sur le plan théorique, la relation de Darcy établie au 19ème siècle tarda à être employée faute de savoir déterminer le facteur de frottement en régime turbulent pour des tubes rugueux.
De nombreuses formulations ont été proposées et appliquées, mais c'est dans les années 1930 que Colebrook et White proposèrent leur relation qui est encore aujourd'hui largement utilisée.

Diagramme de Moody

La relation de Colebrook nécessite un calcul itératif pour obtenir la valeur du facteur de frottement, ce qui constituait un handicap à une époque ou les calculs étaient le plus souvent manuels.
Lewis F. Moody, professeur à l'université de Princeton, publia en 1944 dans ASME Transactions, un diagramme donnant le facteur de frottement en fonction du nombre de Reynolds et de la rugosité du tube. Il l'établi en résolvant la relation de Colebrook pour différents couples de rugosité et de nombres de Reynolds. Des diagrammes portant son nom sont, depuis, largement diffusés dans la littérature. Ils intègrent généralement:

• la droite représentant la relation de Poiseuille pour le régime laminaire
• la courbe représentant la relation de Blasius pour le régime turbulent en tube lisse

Les diagrammes de Moody publiés peuvent indifférement donner le facteur de frottement de Darcy ƒ_D ou bien le "Fanning factor" ƒ_F. Un moyen commode de vérifier auquel il se rapporte, est d'observer la droite représentant l'équation de Poiseuille:

ƒ_D = 64/Re  tandis que ƒ_F = 16/Re

Ce diagramme rassemble les résultats obtenu à partir de:

•  Equation de Poiseuille
  

  ƒ_D= ⁶⁴⁄ _Re
  

  Variables et Unités
  l'équation de Poiseuille pour le régime laminaire
  
• l'équation de Colebrook (1938) pour le régime turbulent et pour des tubes rugueux
  
• Equation de Blasius:
  

  ƒ_D= 0,3164×Re^(-¼)
  l'équation de Blasius (1911) pour le régime turbulent et pour des tubes lisses
  

Relations de Churchill

Le principal inconvénient de l'équation de Colebrook est qu'elle nécessite un calcul itératif pour obtenir la valeur de ƒ. L'inconvénient  du diagramme de Moody est qu'il ne permet pas l'intégration dans les programmes de calcul. Aussi de nombreux auteurs ont proposé des relations explicites pour le calcul de f dont celles de Stuart W. Churchill:

•  Equation 1 de S. W. Churchill:
  

  

  f solution de

  $$\frac{1}{\sqrt{\frac{𝔣}{8}}}=2,457{\ln\left[{{\left(\frac{7}{Re}\right)}^{0,9}}+0,27\frac{ε}{D}\right]}^{-1}$$

  Variables et Unités
   La relation #1 de Churchill (1973):


•  ou encore la relation #2 de Churchill (1977):
   Equation 2 de S. W. Churchill:
  

  

  $$f=8[{\left(\frac{8}{\mathrm{Re}}\right)}^{12}+\frac{1}{{\left(A+B\right)}^{3∕2}}{]}^{1∕12}$$

  Avec:

  $$A=\left\{\mathrm{2,457}\ln \right[{\left(\frac{7}{\mathrm{Re}}\right)}^{\mathrm{0,9}}+\mathrm{0,27}\frac{\epsilon }{D}{]}^{-1}{\}}^{16}$$$$B={\left(\frac{37530}{\mathrm{Re}}\right)}^{16}$$

  Re: nombre de Reynolds
  ε: rugosité du tube [m]
  D: diamètre du tube [m]

  Variables et Unités

Comparaison Moody vs Churchill

La comparaison des résultats obtenus avec les deux équations de Churchill montrent qu'elles représentent toutes deux correctement le diagramme de Moody dans le domaine turbulent, mais la deuxième équation de Churchill représente mieux le domaine laminaire.
En conséquence, pour les programmes de calcul, il conviendra d'adopter:

• soit la relation de Poiseuille pour Re<2000 et Churchill 1 pour Re>2000
• soit la relation de Churchill 2 pour tout le domaine

Sections non circulaires

Diamètre équivalent

Pour les calculs relatifs à des conduites de section non circulaires, un diamètre équivalent est calculé:

Rugosité des tubes

La rugosité représente l'état de surface des tubes et dépend largement du matériau employé.

On retient les valeurs usuelles suivantes:

Nature du tube	Rugosité (mm)
tubes étirés (cuivre, verre)	0,0015mm
acier commercial	0,045
fonte	0,25
béton	0,5 à 1mm

Si on admet que les tuyauteries en béton sont réservées aux très gros diamètres, on peut retenir qu'en pratique une valeur de f comprise entre 0,02 et 0,04 pourra convenir à la plupart des cas de calcul en régime turbulent.

Variables et Unités

Variable	Dimension	Unité SI
H: perte de charge	L	m
P: pression du fluide	ML-1T-2	N/m², Pa
L: longueur de la tuyauterie	L	m
D: diamètre de la tuyauterie	L	m
U: vitesse du fluide	LT-1	m/s
g: accélération due à la pesanteur	LT-2	m/s²
ρ: masse volumique du fluide	ML-3	kg/m3
µ: viscosité du fluide	ML-1T-1	Pa.s
e: rugosité de la tuyauterie	L	m
A: aire de passage	L2	m²
C: périmètre mouillé	L	m
M: masse      L: longueur      T: temps