Facteur de frottement dans les tuyauteries

Equation de Darcy

Le facteur de frottement intervient dans l'équation de Darcy exprimant la perte de charge ou de la perte de pression lors d'un écoulement de fluide gazeux ou liquide, dans une tuyauterie. C'est un nombre sans dimension: sa valeur est donc la même quelque soit le système d'unités utilisé pour les autres variables.

Les anglo-saxons utilisent le "Fanning friction factor"qui est le facteur équivalent dans l'équation de J. T. Fanning. Les deux facteurs peuvent être aisément confondus dans la littérature et ne sont pourtant pas interchangeables. Mais il est heureusement aisé de convertir l'un et l'autre puisque  f_D = 4 f_F

Le tableau ci-dessous résume les équations utiliser selon l'expression de f:

Valeur de ƒ en régime laminaire	Exemple pour Re=1000	Equation à appliquer
ƒ=64/Re	ƒ=0,064	$$\Delta P=f\frac{L}{D}\frac{\rho U^2}{2}$$ $$\begin{array}{cc}\Delta P& \text{: perte de pression [Pa]}\\ U& \text{: vitesse du fluide [m/sec]}\\ L& \text{: longeur de tuyauterie [mètre]}\\ D& \text{: diamètre de tuyauterie [mètre]}\\ \rho & \text{: masse volumique du fluide [kg/m3]}\\ f& \text{: facteur de frottement}\\ g& \text{: accélération due à la pesanteur [9,81 m/sec²]}\end{array}$$ Pour afficher une version de meilleure qualité et plus accessible aux assistants de lecture
ƒ=32/Re	ƒ=0,032	$$\Delta P=f\frac{L}{D}\rho U^2$$ $$\begin{array}{cc}\Delta P& \text{: perte de pression [Pa]}\\ U& \text{: vitesse du fluide [m/sec]}\\ L& \text{: longeur de tuyauterie [mètre]}\\ D& \text{: diamètre de tuyauterie [mètre]}\\ \rho & \text{: masse volumique du fluide [kg/m3]}\\ f& \text{: facteur de frottement}\\ g& \text{: accélération due à la pesanteur [9,81 m/sec²]}\end{array}$$ Pour afficher une version de meilleure qualité et plus accessible aux assistants de lecture
ƒ=16/Re	ƒ=0,016	$$\Delta P=2f\frac{L}{D}\rho U^2$$ $$\begin{array}{cc}\Delta P& \text{: perte de pression [Pa]}\\ U& \text{: vitesse du fluide [m/sec]}\\ L& \text{: longeur de tuyauterie [mètre]}\\ D& \text{: diamètre de tuyauterie [mètre]}\\ \rho & \text{: masse volumique du fluide [kg/m3]}\\ f& \text{: facteur de frottement}\\ g& \text{: accélération due à la pesanteur [9,81 m/sec²]}\end{array}$$ Pour afficher une version de meilleure qualité et plus accessible aux assistants de lecture

Diagramme de Moody

Le facteur de frottement s'obtient en utilisant un diagramme de Moody, fonction du nombre de Reynolds et de la rugosité du tube. Les diagrammes de Moody publiés dans la littérature peuvent indifférement donner le facteur de frottement de Darcy ƒ_D ou bien le "Fanning factor" ƒ_F. Un moyen commode de le vérifier est d'observer la droite représentant l'équation de Poiseuille:

ƒ_D = 64/Re  tandis que ƒ_F = 16/Re

Ce diagramme rassemble les résultats obtenu à partir de:

•  Equation de Poiseuille
  

  ƒ= ⁶⁴⁄ _Re
  

  Variables et Unités
  l'équation de Poiseuille pour le régime laminaire
  
•  Equation de Colebrook:
  

  $$\frac{1}{\sqrt{f}}=-2\log \left(\frac{\epsilon }{\mathrm{3,7}D}+\frac{\mathrm{2,51}}{\mathrm{Re}\sqrt{f}}\right)$$ $$\begin{array}{c}\text{avec}\\ \text{ε: rugosité du tube [m]}\\ \text{D: diamètre du tube [m]}\\ \text{Re: nombre de Reynolds}\end{array}$$

  Pour afficher une version de meilleure qualité et plus accessible aux assistants de lecture
  l'équation de Colebrook pour le régime turbulent et pour des tubes rugueux
  
•  Equation de Blasius:
  

  $$f=\mathrm{0,3164}{\mathrm{Re}}^{\left(-\frac{1}{4}\right)}$$

  Pour afficher une version de meilleure qualité et plus accessible aux assistants de lecture
  l'équation de Blasius pour le régime turbulent et pour des tubes lisses
  

Le principal inconvénient de l'équation de Colebrook est qu'elle nécessite un calcul itératif pour obtenir la valeur de ƒ. Aussi de nombreux auteurs ont proposé des relations explicites pour le calcul de f dont celles de Stuart W. Churchill:

•  Equation 1 de S. W. Churchill:
  

  $$\frac{1}{\sqrt{f∕8}}=\mathrm{2,457}\ln [{\left(\frac{7}{\mathrm{Re}}\right)}^{\mathrm{0,9}}+\mathrm{0,27}\frac{\epsilon }{D}{]}^{-1}$$

  Re: nombre de Reynolds

  ε: rugosité du tube [m]

  D: diamètre du tube [m]

  

  Pour afficher une version de meilleure qualité et plus accessible aux assistants de lecture

  Variables et Unités
   La relation #1 de Churchill (1973):


•  ou encore la relation #2 de Churchill (1977):
   Equation 2 de S. W. Churchill:
  

  $$f=8[{\left(\frac{8}{\mathrm{Re}}\right)}^{12}+\frac{1}{{\left(A+B\right)}^{3∕2}}{]}^{1∕12}$$

  Avec:

  $$A=\left\{\mathrm{2,457}\ln \right[{\left(\frac{7}{\mathrm{Re}}\right)}^{\mathrm{0,9}}+\mathrm{0,27}\frac{\epsilon }{D}{]}^{-1}{\}}^{16}$$$$B={\left(\frac{37530}{\mathrm{Re}}\right)}^{16}$$

  Re: nombre de Reynolds

  ε: rugosité du tube [m]

  D: diamètre du tube [m]

  

  Pour afficher une version de meilleure qualité et plus accessible aux assistants de lecture

  Variables et Unités

Comparaison Moody vs Churchill

La comparaison des résultats obtenus avec les deux équations de Churchill montrent qu'elles représentent toutes deux correctement le diagramme de Moody dans le domaine turbulent, mais la deuxième équation de Churchill représente mieux le domaine laminaire.
En conséquence, pour les programmes de calcul, il conviendra d'adopter:

• soit la relation de Poiseuille pour Re<2000 et Churchill 1 pour Re>2000
• soit la relation de Churchill 2 pour tout le domaine

Sections non circulaires

Diamètre équivalent

Pour les calculs relatifs à des conduites de section non circulaires, un diamètre équivalent est calculé:

Forme	Valeur de f en laminaire
Triangle équilatéral	53/Re
Carré	57/Re
Pentagone	59/Re
Hexagone	60/Re
Octogone	62/Re
Cercle	64/Re
Ellipse 2:1	67/Re
Ellipse 4:1	73/Re
Ellipse 8:1	76/Re
Rectangle 2:1	62/Re
Rectangle 4:1	73/Re
Rectangle 8:1	82/Re
Faces parallèles	96/Re

Rugosité des tubes

La rugosité représente l'état de surface des tubes et dépend largement du matériau employé.

On retient les valeurs usuelles suivantes:

Nature du tube	Rugosité (mm)
tubes étirés (cuivre, verre)	0,0015mm
acier commercial	0,045
fonte	0,25
béton	0,5 à 1mm

Si on admet que les tuyauteries en béton sont réservées aux très gros diamètres, on peut retenir qu'en pratique une valeur de f comprise entre 0,02 et 0,04 pourra convenir à la plupart des cas de calcul en régime turbulent.

Variables et Unités

Variable	Dimension	Unité SI
H: perte de charge	L	m
P: pression du fluide	ML-1T-2	N/m², Pa
L: longueur de la tuyauterie	L	m
D: diamètre de la tuyauterie	L	m
U: vitesse du fluide	LT-1	m/s
g: accélération due à la pesanteur	LT-2	m/s²
ρ: masse volumique du fluide	ML-3	kg/m3
µ: viscosité du fluide	ML-1T-1	Pa.s
e: rugosité de la tuyauterie	L	m
A: aire de passage	L2	m²
C: périmètre mouillé	L	m
M: masse      L: longueur      T: temps