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Ecoulement des gaz dans une tuyauterie

Sommaire de la page:

Ecoulement isenthalpique
Ecoulement isotherme
Variables et Unités

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L'écoulement de gaz dans une tuyauterie présente les particularités suivantes:

Les frottements sur la paroi de la tuyauterie génèrent une perte de charge (diminution de la pression) progressive le long du parcours.
La diminution de pression le long de la tuyauterie provoque l'augmentation de la vitesse du gaz qui à son tour augmente la perte de charge. La variation de pression n'est donc pas linéaire en fonction de la longueur.
La vitesse du gaz ne peut dépasser une valeur dite critique, qui dépend de la nature du gaz. Cette vitesse correspond également à la vitesse du son dans ce même gaz.
Une fois cette vitesse critique atteinte, la pression ne peut plus décroître (une diminution de la pression aurait pour effet d'augmenter la vitesse qui est déjà maximum). Le débit est donc limité, et ne peut être augmenté que par l'augmentation de pression amont.
L'expansion du gaz étant due aux frottements contre la paroi, c'est une évolution irréversible (on ne peut pas inverser le phénomène de frottement pour retrouver l'état initial du gaz). Il y aura donc augmentation de l'entropie du gaz.
L'écoulement peut être de type adiabatique (sans échange de chaleur avec l'extérieur) ou isotherme (à température constante) ou encore polytropique (avec échange de chaleur conduisant à une augmentation ou une diminution de température), ce qui aura des conséquences différentes sur l'évolution de la masse volumique du gaz.
Si aucun échange de chaleur ne se produit avec l'extérieur, l'expansion du gaz sera isenthalpique (adiabatique mais non isentropique).

Pour de faible vitesses et donc de faibles pertes de pression, le gaz peut être assimilé à un fluide non compressible et les équations, beaucoup plus simples, décrivant les écoulements des liquides peuvent être appliquées. Une erreur est alors introduite, d'autant plus importante que la variation de pression est grande. On considère habituellement que:

pour une perte de pression inférieure à 10% de la pression de la source, la masse volumique aux conditions à la source peut être utilisée avec une erreur de quelques % seulement sur le débit calculé.
pour une perte de pression de 10 à 40% de la pression de la source, il est préférable d'utiliser une masse volumique moyenne entre la source et la décharge.
pour des pertes de pression >40% de la pression de la source, il convient d'utiliser des équations dédiées aux fluides compressibles.

Ecoulement isenthalpique

Eq 1: Relation de Fanno en régime sous-critique:

Equation de Fanno pour l'écoulement isenthalpique de fluides compressibles en régime sous-critique

f \frac{L}{D} = \frac{1}{k} (\frac{1}{{M_{1}}^{2}} - \frac{1}{{M_{2}}^{2}}) + \frac{k + 1}{2 k} \ln [\frac{{M_{1}}^{2} (1 + \frac{k - 1}{2} {M_{2}}^{2})}{{M_{2}}^{2} (1 + \frac{k - 1}{2} {M_{1}}^{2})}]

\begin{array}{ll} f & facteur de frottement de Darcy \\ L & longueur de la tuyauterie [m] \\ D & diamètre de la tuyauterie [m] \\ M_{1} M_{2} & vitesse du gaz en entrée et sortie [Mach] \\ k & \frac{C p}{C v} \end{array}

Variables et Unités

L'écoulement adiabatique d'un gaz dans une tuyauterie (Débit et profil de Pression) est décrit par la relation de Fanno:

Elle permet de calculer le profil de vitesses du gaz le long d'une tuyauterie en fonction des propriétés du gaz et des caractéristiques de la tuyauterie; les vitesses sont exprimées en nombre de Mach (M ₁ en entrée et M₂ en sortie).

Eq 2: Nombre de Mach

Vitesse d'écoulement d'un gaz en nombre de Mach

M = \frac{F}{A} \frac{1}{P} \sqrt{\frac{z R T}{k M_{w}}}

\begin{array}{ll} M & vitesse du gaz [Mach] \\ F & débit de gaz [kg╱s] \\ A & {section de passage [m}^{2}] \\ P & pression du gaz [Pa] \\ k & \frac{C p}{C v} \\ z & compressibilité du gaz \\ T & température [°K] \\ M_{w} & masse molaire du gaz [kg╱mole] \\ R & 8.3145 Pa·m^{3} ╱mole╱K \end{array}

Variables et Unités

Le nombre de Mach est le rapport de la vitesse du gaz sur la vitesse du son dans le gaz. Il peut s'exprimer directement en fonction du débit, de la pression et de la température du gaz.

Le nombre de Mach ne peut être supérieur à 1. Lorsqu'il atteint la valeur de 1 le long de la tuyauterie, le régime d'écoulement est dit "critique" ("choked flow" dans la littérature anglo-saxonne). La valeur de Mach=1 ne peut être atteinte qu'à l'extrémité de sortie de la tuyauterie.

Eq 3: Relation de Fanno en régime critique:

Relation de Fanno pour l'écoulement isenthalpique de fluides compressibles en régime critique

f \frac{L}{D} = \frac{1}{k} (\frac{1}{{M_{1}}^{2}} - 1) + \frac{k + 1}{2 k} \ln [\frac{\frac{k + 1}{2} {M_{1}}^{2}}{1 + \frac{k - 1}{2} {M_{1}}^{2}}]

\begin{array}{ll} f & facteur de frottement de Darcy \\ L & longueur de la tuyauterie [m] \\ D & diamètre de la tuyauterie [m] \\ M_{1} M_{2} & vitesse du gaz en entrée et sortie [Mach] \\ k & \frac{C p}{C v} \end{array}

Variables et Unité

En régime critique la relation de Fanno se simplifie puisque M₂=1;

Eq 4: Température statique

Variation de température statique mesurée sur un fluide compressible en écoulement

\frac{T_{2}}{T_{1}} = \frac{1 + \frac{k - 1}{2} {M_{1}}^{2}}{1 + \frac{k - 1}{2} {M_{2}}^{2}}

\begin{array}{ll} T_{1} T_{2} & température statique du gaz en entrée et sortie [°K] \\ M_{1} M_{2} & vitesse du gaz en entrée et sortie [Mach] \\ k & \frac{C p}{C v} \end{array}

Variables et Unités

De la même manière que pour la pression, la température statique du gaz dépend de sa vitesse. Si pour un écoulement isenthalpique d'un gaz parfait, les températures totales (au repos) sont identiques en amont et en aval de l'écoulement, la température du gaz en mouvement est réduite. Cet abaissement de température dépend de la vitesse. La température au point d'entrée est généralement connue au même titre que la pression. En écoulement isenthalpique la température de sortie peut être calculée à l'aide de l'équation 4.

Ecoulement isotherme

Dans ce type de détente la température du gaz demeure constante le long de la tuyauterie. Comme le gaz en mouvement voit sa température baisser, il est nécessaire d'apporter de la chaleur pour maintenir cette température constante. Cette situation se rencontre dans des tuyauteries de grande longueur, non isolées thermiquement, enterrées dans le sol ou immergées dans l'eau, dans lesquelles le gaz est transporté à faible vitesse.
Attention: la quantité de chaleur apportée au gaz le long de son cheminement augmente son enthalpie. Sa température au repos en aval ("température totale" ou "stagnation temperature" dans la littérature anglo-saxonne) sera alors supérieure à ce qu'elle était en amont.

La relation fondamentale décrivant le comportement d'un gaz en évolution isotherme est: PV isotherme

Eq 5: Ecoulement isotherme de gaz dans une tuyauterie:

Relation pour l'écoulement isotherme d'un fluide compressible

f \frac{L}{D} = \frac{1 - \frac{{M_{1}}^{2}}{{M_{2}}^{2}}}{k {M_{1}}^{2}} - \ln [\frac{{M_{2}}^{2}}{{M_{1}}^{2}}]

\begin{array}{ll} f & facteur de frottement de Darcy \\ L & longueur de la tuyauterie [m] \\ D & diamètre de la tuyauterie [m] \\ M_{1} M_{2} & vitesse du gaz en entrée et sortie [Mach] \\ k & \frac{C p}{C v} \end{array}

Variables et Unité

Le profil de débit et de pression est obtenu en solutionnant l'équation 5.

Variables et Unités

Variable	Dimension	Unité SI
M: nombre de Mach	-	-
P: pression du fluide	ML^-1T^-2	N/m²
V: volume du fluide	L³	m³
T: température du fluide		K
L: longueur de la tuyauterie	L	m
D: diamètre de la tuyauterie	L	m
F: débit du fluide	MT^-1	kg/sec
U: vitesse du fluide	LT^-1	m/sec
f: facteur de frottement de Darcy	-	-
k = Cp/Cv: rapport des capacités calorifiques à pression constante (Cp) et à volume constant (Cv)	-	-
Mw: masse molaire du gaz	M	kg
z: coefficient de compressibilité du gaz	-	-
e: rugosité de la tuyauterie	L	m
A: aire de passage	L²	m²
R: constante des gaz parfaits (8,3145 Pa.m³/mole/°K)
M: masse L: longueur T: temps

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