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Ecoulement des gaz dans un orifice

Sommaire de la page:

Régimes d'écoulement d'un gaz
Débit d'écoulement à travers l'orifice
Coefficient de décharge
Usages de la relation de Barré de Saint Venant
Débit de fuite d'une capacité
Débit à travers une restriction de tuyauterie

Régimes d'écoulement d'un gaz

Un gaz s'écoulant d'un milieu à pression élevée vers un milieu à pression plus faible voit son débit volumique augmenter. Ce phénomène, négligeable pour les liquides, doit être pris en compte pour les gaz. C'est pourquoi les relations utilisées pour représenter l'écoulement des liquides ne peuvent généralement pas s'appliquer aux gaz.

Rapport de pression pour un régime d'écoulement critique:

{(\frac{P_{a v}}{P_{a m}})}_{c r i t} = {(\frac{2}{γ + 1})}^{\frac{γ}{γ - 1}}

Lorsque le rapport pression aval / amont est égal à cette valeur critique, la vitesse du gaz dans la section la plus étroite de l'orifice est égale à la vitesse du son dans ce milieu. Elle ne peut plus augmenter.

Le débit massique de gaz s'écoulant, à travers un orifice, entre deux milieux à pressions différentes, est d'autant plus élevé que la différence de pression est grande. En abaissant la pression aval, le débit s'écoulant augmente tant que le rapport de la pression aval sur la pression amont reste supérieur à une limite appelée rapport de pressions critique. Lorsque la pression aval est telle que ce rapport égale cette valeur critique, la vitesse du gaz (à la pression aval) dans la section la plus étroite de l'orifice est égale à la vitesse du son dans ce milieu. Elle ne peut plus augmenter. Si la pression aval est telle que ce rapport devient inférieur à cette valeur critique, le débit massique de gaz n'augmente pas. C'est un régime d'écoulement dit "critique" ou "sonique" ("choked flow" dans la littérature anglo-saxone). Seule une augmentation de pression en amont de l'orifice, permet d'augmenter le débit massique de gaz.
Cette valeur critique ne dépend que de la nature du gaz et en particulier de γ=Cp/Cv. Cette valeur est d'environ 0,5 pour la plupart des gaz.

Débit d'écoulement à travers l'orifice

Si l'écoulement est adiabatique c'est-à-dire sans échange de chaleur ni d'énergie mécanique, le premier principe de la thermodynamique indique que l'énergie totale du fluide reste constante.

H + ½U² = constant; c'est la relation de Zeuner.
avec
- H: enthalpie du gaz [J/kg]
- U: vitesse du gaz [m/sec]

C'est en quelque sorte l'équivalent de l'équation de Bernoulli pour les fluides compressibles.
Cette relation implique que lorsque suite à une réduction de la section de passage, la vitesse du gaz augmente, cela se fait au détriment de son enthalpie qui diminue. La diminution de l'enthalpie se produit par abaissement de la température du gaz.
De ce principe découle la relation de Barré de Saint Venant qui permet de calculer le débit à travers un orifice.

Relation de Barré de Saint Venant:

pour \frac{P_{a v}}{P_{a m}} \geq {(\frac{2}{γ + 1})}^{\frac{γ}{γ - 1}}

Q_{m} = C_{d} A {(\frac{P_{a v}}{P_{a m}})}^{\frac{1}{γ}} \sqrt{2 \frac{γ}{γ - 1} ρ_{a m} P_{a m} [1 - {(\frac{P_{a v}}{P_{a m}})}^{\frac{γ - 1}{γ}}]}

pour \frac{P_{a v}}{P_{a m}} < {(\frac{2}{γ + 1})}^{\frac{γ}{γ - 1}}

Q_{m} = C_{d} A \sqrt{ρ_{a m} P_{a m} γ {(\frac{2}{γ + 1})}^{\frac{γ + 1}{γ - 1}}}

\begin{matrix} Q_{m} & : débit massique [kg/sec] \\ P_{am} & : pression amont [Pa] \\ P_{av} & : pression aval [Pa] \\ ρ_{am} & : masse volumique amont [kg╱m³] \\ ρ_{av} & : masse volumique aval [kg╱m³] \\ γ & : Cp╱Cv \\ T & : température [K] \\ U & : vitesse du gaz [m╱sec] \\ C_{d} & : coefficient de décharge \\ A & : section de passage [m²] \end{matrix}

La relation de Barré de Saint Venant permet de calculer le débit de gaz à travers un orifice.

Coefficient de décharge

La relation de Barré de Saint Venant suppose un écoulement sans frottement. Ceci n'est bien sûr pas vérifié en situation réelle et cela introduit des écarts entre prédiction et mesure des conditions d'écoulement.
Pour corriger cela un coefficient est introduit appelé coefficient de décharge C_d.
C_d= (Débit réel / Débit théorique)
Sa valeur est comprise entre 0 et 1. C'est une caractéristique de l'orifice; les valeurs sont sensiblement les mêmes pour un liquide ou un gaz.

La valeur du coefficient de décharge dépend de la géométrie et de l'état de surface de la restriction; quelques exemples dans le tableau suivant:

type de restriction	coefficient de décharge C_d
plaque à orifice à bords droit	Cd= 0,62
plaque à orifice à bords arrondis	Cd= 0,96
	pour 1,6d < L < 2d Cd= 0,5
	pour 2d < L < 5d Cd= 0,82
	Cd= 1
	pour α= 12° Cd= 0,95 pour α= 30° Cd= 1
venturi moulé	Cd= 0,985
venturi usiné	Cd= 0,995

Usages de la relation de Barré de Saint Venant

Débit de fuite d'une capacité

Dans les analyses de scénario d'incident, cette relation s'applique au calcul du débit de gaz au travers d'une brèche dans la paroi d'une tuyauterie ou d'un réservoir suite à une rupture accidentelle. La pression aval est généralement la pression atmosphérique. Le régime d'écoulement est citique dès que la pression de la capacité est supérieure à 1 bar effectif. Le débit sera alors proportionnel à la pression dans la capacité.

Débit à travers une restriction de tuyauterie

Lorsque la chute de pression est importante, il est important de tenir compte de la compressibilité du gaz. La relation de Saint Venant doit être utilisée.
Pour des chutes de pression faibles, la compressibilité du gaz peut être négligée. Le fluide peut alors être traité comme un liquide. Un coefficient de perte de charge sera attribué à l'orifice.

Erreur générée si la compressibilité du gaz est négligée

Cela peut faciliter le calcul des pertes de charge le long d'une tuyauterie comportant plusieurs accidents en série.
Cependant, il faut garder à l'esprit que cela conduit à sous-estimer la perte de pression occasionnée par l'écoulement. Cette erreur sera d'autant plus importante que la chute de pression est grande.