Efficacité d'une colonne à garnissage

Les colonnes garnies sont le plus souvent utilisées pour assurer un contact intime et faciliter le transfert de matière entre un liquide et un gaz dans:

• des absorptions (lavage d'un gaz pour en éliminer un polluant)
• des stripping (entrainement par un gaz, d'un polluant présent dans un liquide)
• des distillations ( séparation de composants suivant leur volatilité)

L'efficacité du garnissage pour le transfert de matière entre la phase liquide et la phase gazeuse est exprimée par la HEPT ou la HUT:

• HEPT (Hauteur Equivalente à un Plateau Théorique) ou HETP (Height Equivalent to a Theoretical Plate) en anglais est la hauteur de garnissage nécessaire pour obtenir un échange correspondant à un plateau théorique.
• HUT (Hauteur pour une Unité de Transfert) ou HTU (Height for one Transfer Unit) en anglais est la hauteur de garnissage nécessaire pour obtenir un échange correspondant à une unité de transfert

On la trouve également exprimée en nombre de plateaux théoriques au mètre ou en nombre d'unité de transfert au mètre.

Dans un transfert à contre courant, pour chaque plateau théorique, la composition du gaz s'échappant par le haut, est en équilibre avec le liquide s'écoulant vers le bas.
La hauteur d'une unité de transfert (HUT) est définie comme la hauteur de garnissage nécessaire pour produire un changement de composition égal à la différence de composition entre les deux phases.

Les mécanismes gouvernant le transfert de matière sur un garnissage sont si complexes qu'aucun modèle théorique ne s'est imposé pour la prédiction de la hauteur de garnissage nécessaire. Les règles empiriques semblent encore donner les résultats les plus sûrs.
Une des règles les plus simples lie la HEPT à la surface spécifique du garnissage:
HEPT = ⁹³⁄_a

ce qui donne pour des anneaux Pall métal

Taille [mm]	a [m2/m3]	HEPT [m]
10	515	0,18
15	360	0,25
25	215	0,43
38	135	0,7
50	105	0,9
90	78	1.2

Cependant, pour les colonnes de faible diamètre (<0,6m), il est recommandé de retenir une HEPT égale au diamètre de la colonne. Pour les applications sous vide, il est recommandé d'ajouter 0,1m à la valeur trouvée selon les critères précédents.

La hauteur nécessaire de garnissage est simplement le produit du nombre de plateaux théorique nécessaire pour faire la séparation ou l'absorption par la HEPT.

Equilibre gaz/liquide

Comme en distillation, la relation entre la composition de la phase liquide et celle de la phase gazeuse en équilibre s'exprime par le coefficient d'équilibre: K = y / x
Les méthodes pour déterminer le coefficient d'équilibre incluent:

• la loi de Henry pour les systèmes très dilués
• la loi de Raoult pour les systèmes idéaux
• toute méthode adaptée pour les systèmes non idéaux

Coefficient de Henry

Si le soluté est très dilué tant dans le gaz que dans le liquide, souvent on peut considérer que la loi de Henry s'applique: la masse de gaz qui peut se dissoudre dans un liquide est directement proportionnelle à sa pression.
Le coefficient de proportionnalité entre la pression partielle d'un gaz et sa concentration à l'équilibre dans le liquide est nommé coefficient de Henry ( H_σ,s).

Attention! plusieurs définitions co-existent; par exemple:

H_σ,s = P_σ / X_σ
ou
H_σ,s = Y_σ / X_σ = P_σ / P_tot / X_σ

avec:
H_σ,s: coefficient de Henry du soluté "σ" dans le solvant "s"
P_σ: pression partielle du soluté "σ" dans le gaz
P_tot : pression totale
X_σ: fraction molaire du soluté "σ" dans le liquide
Y_σ: fraction molaire du soluté "σ" dans le gaz

Bilan matière

Une substance clé est définie pour permettre les bilans matière. C'est en général le soluté qu'on souhaite transférer d'une phase vers l'autre.
Le bilan matière de l'échange peut s'écrire des manières suivantes:

débit de la substance depuis ou vers la phase liquide: L(Xe - Xs)
 = débit de la substance vers ou depuis la phase gaz: G(Ys - Ye)
avec:
L, G: débit de liquide et de gaz
X, Y: teneurs en substance clé:

• dans le liquide en entrée (Xe)
• et en sortie (Xs),
• dans le gaz en entrée (Ye)
• et en sortie (Ys)

si X et Y représentent des fractions molaires (mole/mole), L et G exprimeront des débits molaires (mole/h)
si X et Y représentent des concentrations (mole/m³), L et G exprimeront des débits volumiques (m³/h)
si la concentration en substance à transférer est exprimée en pression partielle dans la phase gaz:

L(Xe - Xs) = G_[m³/h](Ps - Pe) ⁄ RT

L(Xe - Xs) = G_[M/h](Ps - Pe) ⁄ P_tot

Si les concentrations en soluté sont faibles, les débits de gaz et de liquide peuvent être considérés comme constants entre l'entrée et la sortie. Par contre si les concentrations en soluté sont importantes, il est plus exact de considérer le débit de diluant inerte; les concentrations deviennent alors:
L', G': débit de diluant
X', Y': concentration (mole/mole diluant, mole/m³ diluant)

Débit minimum

En absorption comme en stripping, le flux à absorber ou à stripper est fixé par le procédé amont ou aval, tandis que le flux d'absorbant  ou de gaz de stripping est à définir en fonction de l'efficacité du contacteur. Le débit minimum correspond à un fonctionnement idéal tel que:

• en absorption, le liquide en sortie est en équilibre avec le gaz en entrée (Xs = Xs* = Ye ⁄ K)

L_min = G(Ys - Ye) ⁄ (Xe - Ye ⁄ K)

• en stripping, le gaz en sortie est en équilibre avec le liquide en entrée (Ys = Ys* = K×Xe)

G_min = L(Xe - Xs) ⁄ (K×Xe - Ye)

Au débit minimum de liquide d'absorption ou de gaz de stripping, la surface d'échange ou le volume de garnissage est théoriquement infini.
Pour des raisons économiques, on cherchera à ce que le débit effectif soit d'environ 125% du débit minimum.

Rendement du transfert

Le rendement du transfert est la fraction du soluté présent dans le flux entrant, qui est transféré. A 100% de rendement, le flux entrant est totalement débarassé du soluté présent.

en stripping:
Rdt = (Xe - Xs) ⁄ Xe

ou bien en absorption:
Rdt = (Ye - Ys) ⁄ Ye

Efficacité du contacteur

L'efficacité du contacteur s'évalue en comparant la quantité de matière transféré, à la quantité maximum transférable compte tenu du bilan matière et des équilibres.
Le transfert maximum est atteint quand:

• en contre-courant, la composition de l'un des flux en sortie est en équilibre avec le flux en entrée
• en co-courant, les deux flux en sortie sont en équilibre

Φ ⁄ Φ_max = (Xe - Xs) ⁄ (Xe - Xs*)
ou bien
Φ ⁄ Φ_max = (Ys - Ye) ⁄ (Ys* - Ye)

Hauteur de garnissage

Dans une colonne à garnissage le contact entre le gaz et le liquide est continu. Le dimensionnement d'un contacteur à garnissage s'apparente au dimensionnement d'un échangeur de chaleur.

Le flux d'échange de matière entre les deux phases suit une loi de Fick. La loi de Fick est l'équivalent de la loi de Fourrier pour les échangeurs de chaleur. Ici le flux de matière échangé est proportionnel à l'écart de composition entre ce quelle est et ce qu'elle serait à l'équilibre avec l'autre phase; il s'exprime

en se référant à la phase liquide, par:

L(Xe - Xs) = K_La ΔX_ML S×Z

en se référant à la phase gaz, par:

G(Ys - Ye) = K_Ga ΔY_ML S×Z

avec:
K_L, K_G: coefficient global de transfert de matière se référant au liquide ou au gaz
a: surface spécifique effective du garnissage (m²/m³)
S: section de la colonne garnie (m²)
Z: hauteur garnie (m)
ΔX_ML, ΔY_ML: différence moyenne logarithmique de composition à l'équilibre pour la phase liquide et gaz

ΔX_ML = [(Xe - Xe*) - (Xs - Xs*)] ⁄ ln[(Xe - Xe*) ⁄ (Xs - Xs*)]

ΔY_ML = [(Ye - Ye*) - (Ys - Ys*)] ⁄ ln[(Ye - Ye*) ⁄ (Ys - Ys*)]

teneurs en substance clé:

• dans le liquide en entrée (Xe)
• et en sortie (Xs),
• dans le gaz en entrée (Ye)
• et en sortie (Ys)
• dans le liquide en équilibre avec le gaz de sortie (à contre-courant: Xe* = Ys ⁄ K; à co-courant: Xs* = Ys ⁄ K)
• et avec le gaz en entrée (à contre-courant: Xs* = Ye ⁄ K; à co-courant: Xe* = Ye ⁄ K)
• dans le gaz en équilibre avec le liquide en sortie (à contre-courant: Ye* = K×Xs; à co-courant: Ys* = K×Xs)
• et avec le liquide en entrée (à contre-courant: Ys* = K×Xe; à co-courant: Ye* = K×Xe)

si la loi de Henry s'applique:

K = H_σ = Y ⁄ X*

La surface spécifique du garnissage "a" est celle qui participe réellement à l'échange; ce n'est pas une donnée purement géométrique et elle n'est généralement pas accessible. C'est pourquoi le plus simple est de déterminer expérimentalement le produit K_G·a. C'est cette valeur qui est reportée dans les brochures des fournisseurs de garnissage.

Hauteur d'unité de transfert

Une unité de transfert correspond à une variation de concentration égale à la différence moyenne de concentration entre les deux phases. Pour les systèmes très dilués:

NUT_L = (Xe - Xs) ⁄ ΔX_ML

NUT_G = (Ys - Ye) ⁄ ΔY_ML

La hauteur nécessaire pour effectuer l'échange correspondant à une unité de transfert se calcule à partir du coefficient global de transfert de matière:

HUT_L= L ⁄ K_La ⁄ S

HUT_G= G ⁄ K_Ga ⁄ S

La hauteur totale de garnissage nécessaire est le produit du nombre d'unités de transfert par la hauteur d'une unité de transfert.

H_tot = NUT_L×HUT_L = NUT_G×HUT_G

Unités

Exemple d'application

Exemple tiré du Perry's 7ème édition, page 14-10
On strippe de l'eau polluée par 38ppm poids de TCE (trichloréthylène) au moyen d'un débit d'air atmosphérique sur une colonne de 0,45m de diamètre et garnie, sur 3 mètres, d'anneaux Pall de 25mm, en polypropylène.
L'ojectif est de faire tomber la teneur en TCE à 1,0ppm.
Le ratio molaire air/eau = 1/23,7
HUT_L =  ⁄ K_La ⁄ S = 0,8 m
La loi de Henry s'applique avec un coefficient égal à 417 atm/(mole/mole).
Xe = 38/131,5*18 = 5,2 ppm mole
Xs = 1/131,5*18 = 0,14 ppm mole
Le débit minimum d'air est
G_min ⁄ L = (Xe - Xs) ⁄ (K×Xe - Ye) = (5,2-0,14) ⁄ (417×5,2-0) = 0,0023
Ys = L ⁄ G(Xe - Xs) + Ye = 23,7(5.2 - 0,15) + 0 = 120 ppm

ΔX_ML = [(Xe - Xe*) - (Xs - Xs*)] ⁄ ln[(Xe - Xe*) ⁄ (Xs - Xs*)]

ΔX_ML = [(5,2 - 120 ⁄ 417) - (0,15 - 0)] ⁄ ln[(5,2 - 120 ⁄ 417) ⁄ (0,15 - 0)] = 1,3

Z = L(Xe - Xs) ⁄ K_La ⁄ ΔX_ML ⁄ S = 0,8(5,2 - 0,14) ⁄ 1,3 = 3,0 m